ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «СИММЕТРИЯ» В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «СИММЕТРИЯ» В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1 Симметрия как математическое понятие

В современной начальной школе вполне естественное стремление ребенка к познанию мира осуществляется на самых разных уровнях: от включения в урок заданий, включающих элементы исследовательской деятельности, до разработок (в рамках внеурочной деятельности) проектов или исследований, посвященных различным вопросам математического характера, которые расширяют и дополняют уже имеющиеся у детей знания. Среди множества тем, неизменно вызывающих интерес у младших школьников, особое место занимает симметрия. И это вполне объяснимо. Симметрия окружает нас повсюду: в природе, архитектуре, искусстве и технике, она представлена в строении человеческого тела.
Изначально, знакомство с данной темой происходит еще на начальной ступени образования, где приводятся элементарные примеры каждого из видов симметрии. Далее материал преподносится в более усложненном виде, используются задания практического и наглядного характера. Данная тема развивает ни только аналитическое, но и пространственное мышление учащихся, нельзя не отметить ее значимость в нахождении взаимосвязей между геометрическими объектами и их расположением в пространстве. Еще одним из немаловажных аспектов, является улучшение графических умений, поскольку требует непосредственного представления фигур на бумаге.
Своевременное освоение приведенных выше навыков, соответственно будет влиять на уровень приобретаемых учащимся знаний, что как следствие повлияет на его успеваемость.
Любой существующий объект можно представить, как группу геометрических фигур разнообразных по форме и типу задания, которые в совокупности образуют наиболее полную картину представляемого объекта. Отличительной чертой живой природы является симметрия. Еще в Древней Греции ее изучение стало одной из попыток понять красоту всего живого и трактовалось в значении красота и гармония. Сам термин симметрия был придуман скульптором Пифагором Регийским. На сегодняшний день существует несколько видов симметрии Центральная, Осевая и Зеркальная, далее рассмотрим основные из них в отдельности и дадим наиболее полное определение каждой.
Прежде всего дадим определение основному понятию: Симметрия – это такое свойство объекта, при котором он сохраняет неизменность структуры относительно его преобразований. В узком смысле, симметрия – это свойство геометрических фигур к отображению.
Когда говорят о симметрии, чаще всего имеют в виду гармонию, биларентность, равноудаленность. Д.Н. Ушаков дал такое определение симметрии: «Симметрия – пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине. Так, наиболее распространенный пример симметрии – это кленовый лист» [12].
Центральная симметрия – представляет собой две точки ???? и ????1 лежащие на одной прямой и равноудаленные от некоторой точки ????, которая является центром отрезка. Точка ???? является симметричной самой себе.
Основные свойства:
1. В центральной симметрии всегда сохраняется расстояние между точками ???????? = ????????1;
2. Фигуры относительно точки ???? равны, при условии, что каждой точке фигуры симметричная ей точка, лежит на этой фигуре;
3. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.
Следует заметить, что две и более фигур при построении с помощью центральной симметрии будут равны между собой. К фигурам с данным типом симметрии относятся: прямые, отрезки, прямоугольники, ромбы, квадраты, шестиугольники, окружности и так далее.
Рассмотрим построение симметричных фигур на примере двух треугольников. Для того чтобы построить треугольник симметричный данному, необходимо:
1. Обозначим некоторую точку ???? не принадлежащую треугольнику ????????????;
2. Проведем отрезки ????????, ????????, ????????;
3. Затем продлим данные отрезки, так что: ???????? = ????????1, ???????? = ????????1, ???????? = ????????1;
4. Соединяем полученные точки и находим треугольник ????1????1С1 симметричный треугольнику ???????????? (рисунок 1).


Рисунок 1. Построение симметричной фигуры
Зачастую центральной симметрией обладают многие растения и насекомые, а также она присутствует в строении земли, особенно удобно ее наблюдать в строении снежинки.
Иногда к центральной симметрии относят радиальную или лучевую симметрию, которая предполагает собой совпадение точек при вращении объекта относительно его центра.
Примером данного явления можно считать морскую звезду, кораллы, медузу и тому подобное.
Осевая симметрия – это симметрия относительно некоторой прямой ???? пересекающая прямую ????????1 под прямым углом, так что расстояние от точки пересечения ???? с прямой ???? соответственно равно: ???????? = ????????1. Прямая ???? называется осью симметрии и каждая ее точка симметрична самой себе.
Основные свойства:
1. Отражение плоскости на себя, что сохраняет расстояние между точками;
2. При осевой симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.
При построении фигур с использованием осевой симметрии можно с точностью сказать, что они будут равны, как и при центральной симметрии. Некоторые фигуры имеют одну и более осей симметрии, одна ось встречается в таких фигурах, как: угол, равнобедренный треугольник и равнобедренная трапеция, два и более в: прямоугольнике, ромбе, круге, квадрате. Существуют фигуры, которые не имеют оси симметрии, это: разносторонний треугольник, параллелограмм, неправильный многоугольник и так далее.
Алгоритм построения фигур относительно осевой симметрии, представляется следующим образом:
1. Проведем из вершин треугольника ???????????? перпендикуляры на ось ????;
2. Продлим на соответствующую длину (от вершины до оси) и получим вершины ????1, ????1, ????1;
3. Соединяем полученные вершины и получаем треугольник ????1????1С1 симметричный треугольнику ???????????? (рисунок 2).
При вращении треугольников ???????????? и ????1????1С1 вокруг оси ???? мы можем заметить, что точки ???? и ????1, ???? и ????1, ???? и ????1,совпадут, что еще раз доказывает равенство фигур.


Рисунок 2. Осевая симметрия
Осевая симметрия нашла активное применение при создании многочисленных архитектурных объектов и технических сооружений. Самой известной такой постройкой, относящейся к одному из