Исследование частотных и переходных характеристик линейных электрических цепей

Введение
Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются базовым общетехническим курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Несмотря на широкое внедрение цифровизации, в работе инженера-практика очень часто встречается и обслуживание устройств с применением аналоговых цепей, да и методы цифровой обработки сигналов во многом базируются на теоретической базе аналоговой электротехники и электроники. Важными разделами ТОЭ являются теория расчёта частотных и фазовых характеристик электрических цепей и расчёт переходных процессов, изучение которых является целью настоящей работы.

3.Техническое задание.
Исходные данные к курсовой работе:

Номиналы элементов цепи R= R1 = R2 =1000 Ом, C1 = 10-8 Ф, L1 = 10-2 Гн.

Задание 1.Расчёт частотных характеристик электрической цепи.

1.Для электрической цепи, приведенной на рисунке 1, рассчитать:
а) комплексную функцию выходного сопротивления Zвых (jω)= U ̇2m /( I) ̇2m, его амплитудно-частотную характеристику Zвых (ω) и фазово-частотную характеристику φz(ω);
б) комплексную функцию коэффициента передачи по напряжению
KU (jω) = U ̇2m / U ̇1m , его АЧХ Ku(ω) и ФЧХ φk(ω);
2.Построить графики Zвых (jω), φz(ω), KU(ω), φk(ω), при заданных элементах схемы в логарифмическом масштабе по оси частот;
3.Построить годографы Zвых(jω), KU(jω);
4.Определить характерные частоты;
5.Качественно объяснить ход построенных зависимостей;
6.Провести моделирование исследуемых схем с помощью программы NI MultiSim.
7.Сравнить результаты моделирования с исходными данными и результатами расчёта.

Задание 2.Расчёт линейной цепи при импульсном воздействии

1.Для заданной электрической цепи рассчитать классическим и операторным методом переходную характеристику hu2/|u1(t), при u1=1(t) В;
2.Построить график переходной характеристики;
3.Определить по графикам параметры переходной характеристики: постоянные времени τ, времени установления tуст ( на уровне 0,9) и сравнить их с расчётными;
4.Качественно объяснить характер переходной характеристики;
5. Провести моделирование исследуемых схем с помощью программы NI MultiSim;
6. Сравнить результаты моделирования с исходными данными и результатами расчёта.

4.Основная часть.

4.1 Расчёт комплекснй функции выходного сопротивления Zвых (jω).

Для расчёта комплексного выходного сопротивления заданной схемы используем операторный метод. Составляем операторную схему замещения исходной цепи, считая нулевыми начальные условия, то есть до включения входного напряжения u1 конденсатор С1 и катушка индуктивности L1 были разряжены, и напряжение на конденсаторе, а также ток в индуктивности были равны нулю: uC1 (0) = 0, iL1 (0) = 0.
Составляем операторную схему замещения для исходной схемы рис.2.


4.2 Расчёт комплекснй функции коэффициента передачи по
напряжению Ku(jω).

Комплексный коэффициент передачи напряжения заданной схемы также рассчитаем при помощи операторного метода, подобно тому, как рассчитано комплексное выходное сопротивление цепи. Для вычислений используем выражение (1) из предыдущего расчёта:
U2 (p) = (U_1 (p)*p^2*C_1*L_1*R)/(〖p*L〗_(1 )+ 2*R+ p^2*C_1 〖*L〗_1*R_1+p*C_1*R^2 );
Ku (p) = (U_2 (p))/(U_1 (p)) = (p^2*C_1*L_1*R)/(〖p*L〗_(1 )+ 2*R+ p^2*C_1 〖*L〗_1*R_1+p*C_1*R^2 ) = p^2/(〖2*10〗^10+〖2*10〗^5*p+p^2 ) =
= p^2/((p-(-〖10〗^5-j*〖10〗^5))*(p-(-〖10〗^5+j*〖10〗^5)) ). Особые точки: p = 0- нуль функции,
p1,2 = -105 ± j*105 – полюса функции коэффициента передачи по
напряжению. Делаем подстановку:
p = j*ω и подставляем численные значения R1, R2, C1, L1:
Ku (jω) = - ω^2/(2*〖10〗^10+2*〖10〗^5*ω-ω^2 ) (4)
Ku (jω) = K1 (ω) + j*K2 (ω); Ku (ω) = √(K_1^2 (ω)+K_2^2 (ω)) – модуль комплексного коэффициента передачи напряжения, является функцией частоты – амплитудно-частотная характеристика комплексного коэффициента передачи цепи.
φk (ω) = arctg (X(ω))/(R(ω)) – аргумент комплексного коэффициента передачи цепи- является функцией частоты – фазо-частотная характеристика коэффициента передачи цепи.


4.3 Построение графиков Z (ω), φz(ω), KU(ω), φk(ω) в логарифмическом масштабе по оси частот.

Построение графиков, как и предыдущие расчёты, можно выполнить двумя способами. Первый способ – ручной. Определив необходимый диапазон изменения угловой частоты ω, в выражениях (2) и (4) нужно задавать её значения и получать комплексное значение Zвых и Ku, из которых можно выделить модуль и аргумент. По их значениям можно построить заданные графики, отложив по оси абсцисс не ω, а lg(ω). Пример в таблице 1.


Этот способ трудоёмкий и требует много времени на исправление неминуемых многочисленных ошибок при ручных расчётах с комплексными числами. Значительно облегчить трудоёмкость расчётов, увеличить точность и построить необходимые графики можно с помощью компьютерных математических программ , что и сделано в этой работе. В приложениях 1 и 2 представлен листинг выполненных расчётов, выполненных в среде символьной компьютерной алгебры «Mathematica».



Рис.6.АЧХ коэффициента передачи напряжения в цепи.

Рис.7.ФЧХ коэффициента передачи напряжения в цепи.

4.4 Построение годографов Zвых(jω), KU(jω).
Для построения годографа комплексной функции заданный интервал частот разбивается с равномерным шагом, для каждого значения частоты вычисляются и отображаются на комплексной плоскости по осям абсцисс и ординат соответственно действительная и мнимая часть. Расчёты сведены в
таблицы 3 и 4 и подкреплены листингами в приложениях 3 и 4.


















Рис.8.Годограф выходного сопротивления цепи.


Рис.9.Годограф коэффициента передачи напряжения.


4.5 Определение характерных частот и объяснение хода построенных
зависимостей.
Вид АЧХ и ФЧХ выходного сопротивления цепи объясняется следующим образом: комплексное выходное сопротивление цепи ▁Zвых = U ̇_2/I ̇_2 определяется параллельным соединением индуктивности ZL1 = j*ω*L1 и комплексным сопротивлением остальной части остальной части схемы
Z2 = R2 + (R_1*(-j*1/(ω*C_1 )))/(R_1-j*1/(ω*C_1 ))). На низких частотах ω→0 сопротивление индуктивности мало, а ёмкости – велико, поэтому Z2→R1+R2, а ▁Zвых→0, ток в основном имеет ёмкостный характер и фазовый сдвиг положительный φz > 0.
C увеличением частоты тока, растёт сопротивление индуктивности и уменьшается сопротивление ёмкости, уменьшается индуктивный ток и увеличивается ёмкостной, но рост ёмкостного тока ограничен величиной R2, поэтому Zвых тоже растёт, фазовый сдвиг уменьшается. На частоте примерно ω = 185000 рад/c индуктивная и емкостная составляющие проводимости компенсируют друг друга и |Zвых| имеет максимальное значение, равное 1272, Ом, а фазовый сдвиг остаётся положительным из-за влияния активных сопротивлений R1 и R2.
Вид АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи напряжения цепи объясняется следующим образом На низких частотах ω ≈ 0 проводимость индуктивности велика, а ёмкости – мала, поэтому ток имеет ёмкостный характер и напряжение в основном падаёт на ёмкости. Из-за шунтирования выхода малым индуктивным сопротивлением, выходное напряжение, а значит, и Ku мал, фазовый сдвиг имеет положительный характер-
φk >0. C увеличением частоты тока, уменьшается проводимость индуктивности и увеличивается проводимость ёмкости, в результате напряжение на выходе растёт. Ёмкостной и индуктивный токи противофазны и поэтому индуктивная и емкостная составляющие проводимости компенсируют друг друга, общее сопротивление цепи увеличивается, U2 монотонно растёт, положительный фазовый сдвиг уменьшается. При большом увеличении частоты , когда ёмкость можно считать коротким замыканием, а индуктивность – разрывом цепи всё входное напряжение проходит на выход, поэтому Ku →1.

5. Моделирование исследуемых схем с помощью программы MultiSim.

5.1 Моделирование измерения АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи напряжения.
Схема измерений.

6.4 Моделирование переходной характеристики в симуляторе.
При подаче на вход схемы прямоугольных импульсов с частотой 100 Гц, синхронизации осциллографа по каналу А с однократной развёрткой форма полученного импульса на выходе цепи отражает её переходную характеристику. Результаты моделирования h(t) [хорошо совпадают с расчётом.
7.Заключение
В работе проведён анализ частотных характеристик линейной электрической цепи и временной анализ переходной характеристики с использованием классического и операторного методов расчёта.