Построение потенциальной диаграммы схемы, совмещенной с векторной диаграммой токов для цепей с магнитными связями

Введение.
Наибольшее практическое распространение в промышленности получил синусоидальный переменный ток, вырабатываемый на электростанциях электрическими машинами - синхронными генераторами.
Любая синусоидально изменяющаяся величина полностью определяется тремя параметрами: амплитудой, частотой, начальной фазой (в электрических цепях этими величинами помимо токов являются эдс и напряжения): i = Im*sin (ω*t + ψi), e = Em*sin (ω*t + ψe), u = Um*sin (ω*t + ψu) .
Для упрощения расчётов цепей переменного синусоидального тока американский ученый Штейнметц предложил изображать синусоидально изменяющиеся величины векторами на комплексной плоскости, причем, для единообразия, для момента времени t=0. Для этого момента времени вектор Im*e j(ω*t+ψ)= Im*ejψ= I ̇m, где I ̇m - комплексная величина, модуль которой равен Im ; ψ — угол, под которым вектор I ̇m проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.
Величину I ̇m называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени t=0. Комплексные амплитуды или векторы, изображающие синусоидальные функции времени, имеют другой смысл, чем векторы, определяющие физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, напряженности электрического поля и т. д.
Сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока. заключается в переходе от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений величин, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и эдс. Мгновенные значения тока i заменяют комплексной амплитудой тока I ̇m .Мгновенное значение напряжения на резисторе uR, равное R*i, заменяют комплексом R*I ̇m , Мгновенное значение напряжения на индуктивности uL= L*di/dt заменяют комплексом j*I ̇m* ω*L, опережающим ток на 90º.
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе uC = 1/С*∫▒〖i*dt〗
заменяют комплексом –j*I ̇m*ω*C, отстающим от тока на 90º.
Мгновенное значение эдс e заменяют комплексом E ̇m. Умножение числа на j-мнимую единицу- эквивалентно повороту вектора на +90º в положительном направлении на комплексной плоскости. За положительное обычно берут направление против часовой стрелки, хотя бывает и наоборот.
В таком случае операции с интегро-дифференциальными соотношениями между электрическими характеристиками цепи заменяются алгебраическими операциями над комплексными амплитудами, что сильно упрощает расчёты.
Для расчета цепей постоянного тока разработаны методы на основе первого и второго законов Кирхгофа, с помощью которых вести расчет проще, чем решать систему уравнений, составленных непосредственно по законам Кирхгофа. Но законы Кирхгофа применимы и для синусоидальных цепей переменного тока, поэтому все методы расчета цепей постоянного тока применимы и здесь. Нужно лишь вместо постоянного тока I использовать комплекс тока I ̇, вместо проводимости g - комплексную проводимость Y , вместо сопротивления R - комплексное сопротивление Z и вместо постоянной эдс E - комплексную эдс Е ̇.
Ток и напряжения на различных участках цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений, вследствие чего с помощью такой диаграммы можно контролировать правильность производимых аналитических расчетов.
Существенно увеличить точность расчётов электрических цепей позволяет применение программных методов с помощью компьютерных математических систем, таких как MatLab, MathCAD, Mathematica, которые в режиме интерактивного калькулятора комплексных чисел обладают практически неограниченной точностью вычислений.
1.Составление расчетной схемы электрической цепи.
Исходные данные:
Коды схем ветвей электрической цепи
Таблица 1
Вариант Коды схем ветвей Ветвь n Узел 0
№ Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
17 1 6 2 1 7 1 1 4


Параметры пассивных элементов электрической цепи
Таблица 2
№ Z1 Ом α_Z1⁰ Z2, Ом α_Z2⁰ Z3, Ом α_Z3⁰ Z4, Ом α_Z4⁰ Z5, Ом α_Z5⁰ Z6, Ом α_Z6⁰
17 2 90 1 0 6 30 4 -90 2 45 4 -90

Параметры синусоидальных источников ЭДС Таблица 3

№ E2m
B α_e2⁰ E3m
B α_e3⁰ E5m
B α_e5⁰

17 21 90 16 0 11 0


Параметры синусоидальных источников тока
Таблица 4
№ J2m
A α_J2⁰ J5m
A α_J5⁰

17 4 0 2 -30


Схемы замещения цепей

Код 1 - Код 2 -

Код 6 - Код 7 -
По исходным данным получается следующая исходная схема:

Рис.1. Исходная схема цепи переменного синусоидального тока.
Требуется произвести :
1. Расчет по законам Кирхгофа.
2. Расчет методом контурных токов.
3. Расчет методом узловых потенциалов.
4. Расчет методом эквивалентного генератора.
5. Проверку баланса активных и реактивных мощностей.
6. Построить векторные диаграммы.
7. Рассчитать схему при наличии индуктивной связи.
8. Проверить баланс активных и реактивных мощностей для схемы с индуктивной связью
9. Построить векторные диаграммы для схемы с индуктивной связью

2. Определение токов в цепи с помощью законов Кирхгофа
Записываем значения комплексных сопротивлений.
Z1 = 2*e^(j*90⁰) = j*2 Ом. Z2 = 1*e^(j*0⁰) = 1 Ом.
Z3 = 6*e^(j*30⁰) = 5, 19516 + j*3 Ом.
Z4 = 4*e^(-j*90⁰) = -j*4 Ом. Z5 = 2*e^(j*45⁰) = 1, 41421 + j*1, 41421 Ом.
Z6 = 4*e^(-j*90⁰) = -j*4 Ом.
Записываем значения комплексных источников эдс.
E2 = 21*e^(j*90⁰) = j*21 B. E3 = 16*e^(j*0⁰) = 16 B. E5 = 11*e^(j*0⁰) = 11 B.
Записываем значения комплексных источников тока.
J2 = 4*e^(j*0⁰) = 4 A. J5 = 2*e^(-j*30⁰) = 1, 73205 – j* A.
Для упрощения расчётов заменим идеальные источники тока ветвей на эквивалентные источники эдс. Эквивалентная расчётная схема представлена на рис.4. В ветви с Z5 и E5 и J5 преобразуем источник тока в эквивалентный источник, а затем заменим два встречно источника эдс одним эквивалентным:

Рис.2.Преобразование ветви 5.
эдс E5e= E5 - J5*Z5 = 11 - 2*e^(-j*30⁰)*2*e^(j*45⁰)= 7, 1363 – j*1, 03528 =
= 7, 211*e^(-j*8,254⁰) B.
Z5e = Z5 = 2*e^(j*45⁰) = 1, 41421 + j*1, 41421 Ом.
Ветвь с J2, Z2, E2 преобразуем, заменяя источник тока J2 в эквивалентный источник эдс:

Рис.3.Преобразование ветви 2.
Объединяя источники эдс, получим:
E2e = E2 + J2*Z2 = 21*e^(j*90⁰)+ 4* 1= 4 + j*21 = 21, 3776* e^(j*79,216⁰) B.
Z2e = Z2 = 1 Ом.

Рис.4.Эквивалентная расчётная схема цепи переменного тока.
В схеме рис.4 число ветвей p = 6, число узлов q = 4.
Для расчёта цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа необходимо выделить независимых q-1 = 3 узла и составить для них уравнения по 1-му закону Кирхгофа, затем выделить p-q+1= 3 независимых контура и составить для них уравнения по 2-му закону Кирхгофа, считая неизвестными токи ветвей. Полученные шесть уравнений с неизвестными токами объединяются в систему уравнений, решение которой относительно неизвестных токов является целью расчёта цепи. Выбираем узлы 2, 3, 4 и контуры, обозначенные на рис.2 пунктирными линиями. Обход контуров осуществляем по ходу движения часовой стрелки: