Системы массового обслуживания

Введение

Актуальность работы: Системы массового обслуживания являются
неотъемлемой частью жизни современного общества. Мы встречаемся с
системами такого вида практически повсеместно, от очереди в супермаркете
до очереди на загрузку файла в Интернет.
Существуют системы массового обслуживания, моделирующие
различные ситуации, поэтому широкий спектр таких систем ложится на
достаточно подробные схемы классификации, что в свою очередь позволяет
выбрать СМО под свои потребности и затем оптимизировать с помощью
модели реальные производственные процессы.
Целью работы является изучение систем массового обслуживания и
демонстрация работы одной из СМО на численном примере.
Задачи работы:
 Изучить литературу по теме систем массового обслуживания;
 Найти в литературе классификацию СМО;
 Выделить одну из моделей, имеющую простую реализацию и
практическое применение;
 Показать работу модели СМО на численном примере, имеющем
практическое применение.
Объект исследования – системы массового обслуживания.
Предмет исследования – возможность применения математических
моделей СМО в практико-ориентированных задачах.
Структура работы: работа состоит из введения, двух глав,
заключения, содержит список литературы и приложение на 1 листе.

Лист
1 ГХТК.09.02.02.30.2.00 ПЗ 6

Лит № докум. Изм. Подп. Дата

1. Основные положения теории массового обслуживания
1.1. Понятие системы массового обслуживания

Во многих областях производства, бытового обслуживания, экономики
и финансов важную роль играют системы[1] специального вида,
реализующие многократное выполнение однотипных задач. Подобные
системы называют системами массового обслуживания (СМО). В качестве
примеров СМО в финансово-экономической сфере можно привести системы,
представляющие собой банки, страховые организации, налоговые инспекции,
аудиторские службы. В сфере производства и обслуживания примерами
СМО могут служить: различные системы связи (в том числе телефонные
станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции),
автозаправочные станции, магазины, парикмахерские, билетные кассы,
пункты обмена валюты, ремонтные мастерские, больницы и т.д. Такие
системы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки
информации, транспортные системы, автоматизированные производственные
участки и, в военной области, системы противовоздушной или
противоракетной обороны также могут рассматриваться как своеобразные
СМО.
Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число
обслуживающих устройств (единиц, приборов, линий), которые называют
каналами обслуживания. Роль каналов могут играть лица, выполняющие те
или иные операции (кассиры, операторы, продавцы, парикмахеры и т.д.),
линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные
пути, бензоколонки и т.д. Каждая СМО предназначена для обслуживания
(выполнения) некоторого потока заявок (или требований), поступающих на
вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты
времени. Обслуживание заявок, в общем случае, также длится не постоянное,
заранее известное, а случайное время. После обслуживания заявки канал
освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер

Лист
1 ГХТК.09.02.02.30.2.00 ПЗ 6

Лит № докум. Изм. Подп. Дата
потока и времени их обслуживания приводит к неравномерной
загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут
скапливаться необслуженные заявки (они либо становятся в очередь, либо
покидают СМО необслуженными), в другие же периоды при свободных
каналах на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е.
к простаиванию каналов. Схема СМО изображена на рис 1.

Рис. 1. Общая схема СМО

Теория массового обслуживания, формально являясь частью теории
случайных процессов, уже несколько десятилетий имеет самостоятельную
область исследований со специфическим курсом задач. Зарождение и
развитие теории массового обслуживания можно представить в виде
следующей цепочки: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ → ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ → ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.
Теория вероятностей (как исторический родоначальник) теории мас-
сового обслуживания зародилась и начала оформляться в XVII в. благодаря
необходимости изучения закономерностей случайных явлений. Историче-
ски сложилось так, что схемами, дающими простые и прозрачные модели
случайных явлений, а также возможность повторения одного и того же опыта
в условиях массовости этих явлений, явились схемы азартных игр. Само
слово «азарт» (от французского «le hazard») означает «случай». До сих пор

Лист
1 ГХТК.09.02.02.30.2.00 ПЗ 6

Лит № докум. Изм. Подп. Дата
примеры из области азартных игр применяют при изучении теории
вероятностей как упрощенные модели случайных явлений, наиболее просто и
наглядно иллюстрирующие основные законы теории. В середине XVII в.
математические исследования в области азартных игр проводили такие
учёные, как Ферма (1601 – 1665 гг.), Паскаль (1623 – 1662 гг.) и др. Именно
работам этих учёных современная математика обязана появлением таких
категорий, как «вероятность» и «математическое ожидание». Однако вплоть
до следующего столетия зародившаяся наука так и не подошла к
классическим определениям теории.
Значительный шаг вперёд в развитии теории вероятностей сделал Яков
Бернулли (1654 – 1705 гг.). Он вывел и доказал закон больших чисел
(простейшая форма закона больших чисел устанавливает связь между
вероятностью события и частотой его появления, т.е. при большом числе
опытов относительная частота появления конкретного исхода
стабилизируется и приближается к некоему числу – вероятности этого
исхода). Позднее Пуассон (1781 – 1840 гг.) доказал более общую, чем у
Бернулли, форму больших чисел, а также впервые применил теорию
вероятностей к задачам стрельбы (тем самым положив начало её
использования в военном деле). Пуассон также вывел один из законов
распределения, который играет важную роль во всех приложениях теории
вероятностей, в том числе в теории массового обслуживания.
В XIX в. при заметном угасании интереса к теории вероятностей в
Западной Европе в России создаётся знаменитая Петербургская
математическая школа, которая дала миру важнейшие труды по теории
вероятностей и развитие нескольких её приложений (в том числе теории
случайных процессов), большинство из которых в настоящее время имеют
самостоятельные области исследования. Основы современной теории
случайных процессов (являющейся родоначальницей теории массового
обслужива- ния) заложил А. А. Марков (1856 – 1922 гг.). Он существенно
расширил области применения центральной предельной теоремы и закона

Лист
1 ГХТК.09.02.02.30.2.00 ПЗ 6

Лит № докум. Изм. Подп. Дата
больших чисел, распространив их как на зависимые, так и на независимые
опыты.
Из теории случайных процессов, как уже говорилось ранее, посте-
пенно выделилась теория массового обслуживания. Её родоначальником
считается датский учёный А. К. Эрланг.
А. К. Эрланг, решая практические задачи совершенствования работы
систем связи, вывел ряд формулировок и формул, являющихся базовыми в
теории массового обслуживания. Развили теорию массового обслуживания
уже советские учёные.
В 30-е гг. XX в. А. Я. Хинчин разработал метод «вложенных цепей
Маркова», давший возможность поиска распределения времени ожидания
для простейших потоков на один канал, обслуживающий очередь с
произвольным распределением времени обслуживания. В 50-е гг. XX
в. Б. В. Гнеденко обобщил формулы Эрланга, а также рассмотрел случаи
потери заявок при отказе канала обслуживания и переход заявки на другой
свободный канал. Б. В. Гнеденко является автором первого в СССР спец-
курса по теории массового обслуживания, а написанная им монография до
сих пор является основополагающей при изучении теории массового
обслуживания, как в России, так и за рубежом.
В табл. 1 представлена краткая характеристика исторических этапов
становления и развития теории массового обслуживания.