Приложения треугольника Паскаля

Введение
Треугольник Паскаля – это числовая таблица, полученная по заранее определенному рекуррентному закону. Несмотря на простоту построения треугольник Паскаля обладает рядом интересных математических свойств, позволяющих найти приложение треугольника Паскаля в разных задачах.
Целью работы является изучение треугольника Паскаля и его приложений к разным классам задач.
Задачи исследования:
• Изучить способ построения треугольника Паскаля и его происхождение;
• Изучить свойства и приложения треугольника Паскаля для построения различных числовых последовательностей;
• Изучить свойства и приложения треугольника Паскаля для решения комбинаторных и олимпиадных задач школьного курса.
Объект исследования: математический объект «треугольник Паскаля»
Предмет исследования: построение, свойства и приложения треугольника Паскаля.
Работа состоит из введения, двух глав и заключения, содержит 15 рисунков и список литературы из 13 источников
 
1. Понятие треугольника Паскаля
1.1. Определение, построение
В математике треугольник Паскаля [10, 11] – это треугольный массив биномиальных коэффициентов, который возникает в теории вероятностей, комбинаторике и алгебре. В большей части западного мира он назван в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя другие математики изучали его за столетия до него в Индии, Персии, Китае, Германии и Италии [6].
Строки треугольника обычно нумеруются, начиная со строки n = 0 в верхней части. Записи в каждой строке целочисленные и нумеруются слева, начиная с k = 0, обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строчках.
Построить фигуру можно следующим образом: В центре верхней части листа ставится цифра "1". В следующем ряду — две единицы слева и справа от центра (получается треугольная форма). В каждой последующей строке ряд будет начинаться и заканчиваться числом "1". Внутренние члены вычисляются путём суммирования двух чисел над ним. Запись в n строке и k столбце паскалевской фигуры обозначается (n k). Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке (0 0) = 1. Общий вид треугольника Паскаля приведен на рис. 1.
С помощью этого конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом, образуя формулу треугольника Паскаля
(n k) = (n - 1 k-1) + (n - 1 k),
для любого неотрицательного целого числа n и любого целого числа k от 0 до n включительно. Трёхмерная версия называется пирамидой (рис. 2) или тетраэдром, а общие — симплексами.


Рис. 1. Общий вид треугольника Паскаля


Рис. 2. Первые пять слоев пирамиды Паскаля.
 
1.2. Историческая справка
Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи[en] к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя) – рис. 4.


Рис. 3. meru-prastaara

В Италии треугольник Паскаля [8] иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году [5] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих предшественников.


Рис. 4. Треугольник Ян Хуэй (треугольник Паскаля) с
использованием стержневых цифр, как показано в
публикации Чжу Шицзе в 1303 году нашей эры.