Выбор методов аппроксимации функции

Как в экономических, так и в математических задачах часто возникает потребность в аппроксимирующей функции. Одна из возможностей состоит в том, что у имеется конечный набор точек данных и необходимо определить лежащую в основе функциональную зависимость.
Потребность в аппроксимирующей функции также возникает, если в принципе можно получить значение функции для любого заданного набора аргументов, но это очень трудоемко. Например, значение функции может быть результатом множества сложных вычислений, и для вычисления одного значения функции может потребоваться много вычислительного времени. С помощью аппроксимирующей функциональной зависимости можно было бы получить (приближенные) значения функции намного быстрее. Опять же, цель будет состоять в том, чтобы придумать аппроксимирующую функциональную зависимость, используя конечный набор точек данных.
Теория приближения функций очень полезна, если необходимо найти функцию, которая явно или неявно определяется системой функциональных уравнений.
Тема курсовой работы: «Выбор методов аппроксимации функции».
Цель работы. Требуется разными методами (2-3 метода, в зависимости от поставленной задачи) аппроксимировать исходные данные (или заданную функцию) и провести сравнение и анализ полученных результатов.
Для достижения цели работы требуется решить следующие задачи.
1. Выбрать аппроксимирующие функции в зависимости от условия задачи, обосновать выбор. В случае метода наименьших квадратов вид приближающей функции определите по характеру точечного графика.
2. Аппроксимировать данные выбранными методами, определить погрешности аппроксимаций.
3. Построить графики функций: исходной, полученных аппроксимирующих и зависимостей погрешностей.
4. Провести анализ полученных результатов и выбрать оптимальную аппроксимирующую функцию.
5. Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

 
1. Теоретическая часть
1.1 Приближение функций
Приближение функций – нахождение по данной функции некоторой другой, в определенном смысле мало отличающейся от данной, но обладающей, в отличие от нее, какими-то специальными требуемыми свойствами – принадлежащей к определенному семейству, семейству приближающих функций.
Аппроксимация - приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.
Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости.
При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.
При разработке математического обеспечения часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f(x) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.
На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x0, x1, ..., xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn. Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что F(x0) = y0, F(x1) = y1, ..., F(xn) = yn.
Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) для i = . Полученная таким образом интерполяционная формула y = F(x) обычно используется для вычисления значений исходной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x принадлежит интервалу [x0, xn], и экстраполирование, когда x не принадлежит этому интервалу.