Система целых чисел

Введение
Современный мир сейчас сложно, да наверно можно смело сказать, невозможно представить без цифр. Современным миром правят именно они – цифры.
Счет сейчас для нас является обыденным делом. Мы учимся считать в школе на уроках математики, даже не думая, что счет и понятие числа прошел долгий путь развития с древних времен до наших дней.
Актуальность работы: Числа и счет это важнейшая часть нашей жизни, понятия множества и свойства прочно вошли в нашу жизнь и составляют основу формирования способности отражения количественных характеристик действительности. А так же значимость понимания особого положения теории чисел.
Объект исследования: множества целых чисел, свойства и операции над ними.
Цель работы: изучение научной литературы по теме, анализ развития и практического применения.
Давайте ненадолго заглянем в прошлое и узнаем с чего все начиналось.
Цифры и арифметические действия над ними были немалой потребностью в деятельности человека с древних времен.
Конечно, считать научились не сразу. Вероятно, счет возник при необходимости обмена.
Первым понятием зарождающегося счета возникло: один или много. Именно тогда, можно сказать, и закладывалось понятие множества.
Прежде чем перейти к числам, прошли сотни лет.
Для начала появилось число 2 и много лет счет велся парами. Конечно, запоминать и считать в уме было непосильной задачей для древних людей, и тогда на помощь пришло то, что всегда при нас. Это наши руки, а точнее пальцы.
Язык древних людей не отличался разнообразием, а руки всегда были помощью в объяснении. До сих пор осталось выражение: объяснить на пальцах
По мере развития стали использовать различные предметы: камни, палки и т.д. Но считать десятками, по количеству пальцев, закрепилось надолго.
По мере развития жизни, торговли, обмена и числа тоже стали расти. Огромным прорывом с системах счета стало изобретение первого калькулятора того времени - Счетов.
На Руси счеты появились в шестнадцатом веке.
Нужно отметить, что это изобретение не потеряло актуальности и по сей день.
Устройство необычайно простое. Представляет собой спицы на которые нанизаны 10 костяшек. Вся эта конструкция заключена в деревянную раму.
Сейчас счеты делают из дерева, раньше для их изготовления использовали кость или камень.
Для использования надо знать определенное правило счета. Кроме того, счеты предназначены для подсчёта положительных чисел. А операция умножения и деления занимает значительное время. Но, несмотря на эти минусы использования данного прибора, его используют до сих пор.
Другим помощником стала логарифмическая линейка.
Незаменимая вещь и главный помощник инженера. Изобретена в 17в и использовалась вплоть до 1990 года.
По сути, логарифмическая линейка является аналоговым счетным инструментом, при помощи которого возможно выполнять некоторые математические операции. Например, умножение или деление, а так же логарифмы и функции, и даже корни уравнений и возведение в степень.
Состоит она из двух шкал, которые двигаются относительно друг друга. На них нанесен логарифмический масштаб.
Вполне можно сказать, что логарифмическая линейка это транспарантная номограмма.
В принцип действия можно отнести замену умножения на сложение, а деления на вычитание.
Первым механическим калькулятором стал арифмометр «Феликс»
Стал популярным в конце 19 века.
Арифмометр был назван в честь Феликса Дзержинского. Его модификации включают в себя более двух тысяч модификаций. Выпускался почти 50 лет.
На арифмометре возможно выполнять операции с операндами до девяти знаков. А итоговый ответ можно получить до тринадцати знаков.
Представляет собой он коробку и прорезями. В прорезях перемещаются рычаги, устанавливая этим заданное число. Подвижная каретка содержит счетчик оборотов и счетчик результатов
На обоих торцах каретки находятся барашки. С помощью них обнуляются результаты.
Собственно арифметические действия производятся с помощью рукоятки. Расположена она справа от неподвижной коробки.
При повороте рукоятки счетчик оборотов увеличивается на единицу.
Подсказкой при вычислениях служит дополнительная планка, на которой отмечены стрелки. На алгоритм они не влияют, они всего лишь отмечают положение запятой в числах.
Вес этого, современного для 1929 года устройства, составлял 3,5 килограмма.
Конечно, мир не стоит на месте и сейчас все вычисления взял на себя компьютер.
Некоторые изобретения ушли в прошлое, некоторые еще остаются с нами, но развитие продолжается.
А перед нами стоит задача в дальнейшем развитии и совершенствовании наших знаний.
В данной работе мы рассмотрим такое понятие как: множество. А так же построение и свойства множеств целых чисел.






















1. Аксиоматическое построение кольца целых чисел

Натуральные числа кольцом являться не могут, потому как ноль не является натуральным числом, к тому же для натуральных чисел так же нет натуральных противоположных им чисел.
Поэтому структура, которая образуется натуральными числами, будет называться полукольцом.
Если говорить более точно, то полукольцом называется коммутативная полугруппа по сложению и полугруппа по умножению, в которой операции сложения и умножения будут связаны дистрибутивными законами.
Зная это можно определить более строгие рамки по определению целых чисел, так же вполне возможно доказать их эквивалентность.
Для этого будем исходить из знаний об алгебраических структурах. Но нельзя не учесть, что множество натуральных чисел является полукольцом и не является кольцом.
Исходя из вышесказанного, выведем определение
Кольцо целых чисел – это минимальное кольцо, которое содержит в себе полукольцо натуральных чисел.
Данное определение не учитывает ряд факторов, таких как внешний вид чисел.
Если применить определение таких чисел из школьного курса, то можно эти числам дать определение как натуральные, а так же противоположные им и ноль.
Используя эти данные можно вывести более строгое определение
Кольцом целых чисел - это кольцо, для которого элементами являются только: натуральные числа, им противоположные или ноль.


1.2. Понятие аксиоматической теории
Для того что бы разбирать аксиоматические теории, нужно определить что такое «Аксиома».
Итак, «Аксиома» - в переводе с древнегреческого «αξίωμα» означает утверждение. Аксиома это такое утверждение, которое не требует доказательства.
Для определения и построения аксиоматической теории, необходимо определить алгоритм:
- определение объектов
- перечисление свойств объектов
- определение основных отношений для определенных объектов
- построение утверждений для определенных объектов и отношений, которые должны быть приняты без доказательства, не требующих доказательства. Это и есть – Аксиома.
Развитие такой теории происходит по средствам логических правил полученных из аксиом.
Итогом развития являются теоремы. Теоремы - это новые утверждения.
Давайте рассмотрим аксиоматические теории.
Их можно разделить на:
- формальные
-содержательные.
Формальными можно назвать те, в которых есть правила вывода. Те, в которых явных выводов нет, называют содержательными.
Выбор аксиом может быть произвольным, но часто к ним применяются некоторые требования.
Основными требованиями являются:
- независимость
Система аксиом, в которой ни одну из содержащихся в системе аксиом, невозможно доказать, если исходить из остальных аксиом, как теорему.
Для дальнейшего доказательства абсолютной независимости каждую из аксиом поочерёдно заменяют на её отрицание, при этом остальные части аксиомы оставляют прежним.
Затем осуществляют построение модели полученной теории.
- непротиворечивость
Аксиоматическая теория, в которой отсутствует утверждение w, что одновременно истинно это утверждение w и его отрицание w.
Если такая теория существует, то теория называется противоречивой. Рассматривать такую смысл отсутствует.
- полнота
Для определения полноты требуется обозначит любое утверждение как теорему, или его отрицание должно быть теоремой.
Сложно подобрать теории, для которых это требование будет полностью определенным.
Для подавляющего большинства теорий, как и для аксиоматической требование не будет справедливым.
Для таких теорий данное свойство рассматривают в более узком или категоричном смысле.
Выделим требования категоричности или полноты. Аксиоматические теории должны быть изоморфны друг другу.
Изоморфными будут системы если отображение первой модели на вторую будет однозначно. И наоборот.
При этом свойства и отношения будут сохранены.