Теоретические аспекты оптимизации. Методы математического анализа

ВВЕДЕНИЕ

Задачи, в которых требуется вычисление интегралов или производных функций, возникают почти во всех областях прикладной математики. Например, проблема численного дифференцирования функций встречается в методе Ньютона решения систем нелинейных уравнений; в методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, в задачах отыскания экстремумов функций одной и многих переменных и т.д. С другой стороны, многие критерии оценки качества проектируемого изделия вычисляются с помощью определенных интегралов. В теории вероятности интеграл от функции плотности вероятности определяет величину вероятности некоторого события. С помощью интегралов вычисляются геометрические характеристики объектов и т.д.
Иногда удается найти аналитическую формулу для вычисления определённого интеграла или дифференциала функции, но значительно чаще этого сделать не удается. В таких ситуациях приходится применять различные методы численного интегрирования или дифференцирования функций.
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции.
В настоящее время разработано достаточно большое количество методов численного интегрирования функций, учитывающих различные особенности в постановке задачи.
Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).
Численное интегрирование применяется, когда:
• сама подынтегральная функция не задана аналитически, а, например, представлена в виде таблицы значений;
• аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.
Целью данной работы является изучение численных методов интегрирования и их реализации в среде MathCad.
 
ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ЕЕ РЕШЕНИЕ В СРЕДЕ MATHCAD

1.1. Постановка задачи численного интегрирования

Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является важной составной частью математического моделирования площадей и объемов, значений работы, произведенной некоторыми силами и многие другие технические задачи. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла
,
Во многих случаях, когда функция f(x) в (1) задана в аналитическом виде, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница:
Однако формулой (2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:
– когда вид f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразная F(x) не выражается в элементарных функциях;
– если значения f(x) заданы в табличной форме.
Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.
Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f(x), формально записанного в виде (1). Напомним суть этого определения.
Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на интервале [a, b]. Разобьем его на n произвольных частичных интервалов [xi, xi+1], 0in–1, x0 = a, xn = b.