О методах исследования устойчивости линейных дифференциальных уравнений

Введение

Понятие функции представляет собой одно из главных понятий математики. Оно не по-явилось сразу в том виде, в каком его используют в настоящее время, а, как и иные фун-даментальные понятия прошло длинный путь исторического и диалектического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. К примеру, изменение объема, площади фигуры в зависимости от изменения ее величин. Тем не ме-нее, древние греки идея интуитивно осознавали функциональной зависимости.
Уже в XVI-XVII вв. промышленность, техника, мореходство поставили перед математи-кой задачи, которые было нельзя решить при помощи имеющихся методов математики постоянных величин. Были необходимы новые методы математики, которые бы отлича-лись от методов элементарной математики.
Впервые термин «функция» ввел в рассмотрение немецкий философ и математик Лейб-ниц в 1694 г. Тем не менее, данный термин (определения не было вовсе) он употреблял в узком смысле, под функцией понималось изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Следовательно, понятие функции у него носило «геометрический налет». В современных терминах данное определение имеет связь с понятием множества и звучит следующим образом: «Функция представляет собой произвольный метод отоб-ражения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в данном определении не накладываются ограничения на закон соответствия (данный закон можно задать при по-мощи формулы, таблицы, графика, словесного описания). Главным в этом определении является: а А !b B. Под элементами множеств А и В при этом понимаются элементы про-извольной природы.
В математике XVII в. наибольшим достижением по праву считается изобретение инте-грального и дифференциального исчисления. Оно было сформировано в сочинениях Лейбница и Ньютона и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых явилось началом больших преобразований. Но вместе с интегральны-ми методами складывались и дифференциальные методы. Были выработаны элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые на сегодняшний день и решаются при помощи дифференцирования. В те времена данные задачи были трех видов: нахождение минимумов и максимумов функций, определение касательных к кривым, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления был опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Данный курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых изложены опре-деления переменных и постоянных величин и дифференциала, объясняются употребляю-щиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.
Изучение поведения разных систем (экономические, технические, экологические и др.) зачастую приводит к решению и анализу уравнений, которые включают как показатели системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Данные уравнения, которые содержат производные, называются диффе-ренциальными.
Следовательно, геометрический смысл производной заключается в следующем: произ-водная функции в точке x0 равняется угловому коэффициенту касательной к графику функции, которая проведена в точке с абсциссой x0.
Физический смысл производной состоит в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 - скорость изменения функции f (х) в точке x0
Экономический смысл производной состоит в следующем: производная представляет со-бой интенсивность изменения некоего экономического процесса (объекта) по времени или в отношении другого исследуемого фактора.
Производная находит обширное приложение и в физике для нахождения скорости по из-вестной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наименьших и наибольших показателей.
Производная представляет собой наиболее важный инструмент экономического анализа, который позволяет углубить математический и геометрический смысл экономических понятий, а также выразить экономические законы при помощи математических формул.
Наиболее актуальным является использование производной в предельном анализе, то есть при изучении предельных величин (предельная выручка, предельные издержки, предель-ная производительность труда или иных факторов производства и т. д.).
Производная находит применение в экономической теории. Многие, в том числе базо-вые, законы теории потребления и производства, предложения и спроса оказываются прямыми следствиями математических теорем.
Знание производной позволяет решить множество задач по физике, экономической тео-рии, геометрии и алгебре.
Поэтому рассматриваемая тема является актуальной.
Целью курсовой работы является изучение методов исследования устойчивости линей-ных дифференциальных уравнений.
В соответствии с поставленной целью необходимо решить ряд задач, таких как:
 рассмотреть понятие алгебраических и дифференциальных уравнений, особенно-сти ;
 проанализировать методы анализ устойчивости экономических дифференциаль-ных моделей.
Объектом исследования выступают дифференциальные линейные уравнения. Предметом исследования – особенности и методы исследования их устойчивости.
Структура работы обусловлена целью и задачами исследования. Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.
К основным методам исследования, использованным в работе, можно отнести метод сбо-ра данных и обобщения материалов, аналитический метод.

1 Понятие алгебраических и дифференциальных уравнений, особенности

Дифференциальные уравнения имеют обширное применение в механике, в физике, в ва-риационной исчисление, в дифференциальной геометрии, в биологии, в химии, в элек-тротехнике, в экономике и в иных областях науки.
Многие процессы описываются при помощи дифференциальных уравнений. Эти диффе-ренциальные уравнения являются математической моделью данного процесса. Характе-ризуя математику в качестве метода проникновения в тайны природы, следует отметить, что основным способом применения данной методики является формирование и исследо-вание математических моделей реального мира. Исследуя какие-то физические явления, ученый, в первую очередь, создает его математическую идеализацию или, говоря иными словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными свойствами рас-сматриваемого явления, он записывает главные законы, которые управляют данным яв-лением, в математической форме. Зачастую такие законы выражаются в виде дифферен-циальных уравнений.
Определение 1. Дифференциальным уравнением является уравнение, которое связывает искомую функцию некоторой переменной, эту переменную и производную и производ-ные разных порядков данной функции:

Если неизвестная функция в дифференциальном уравнении является функцией от одной переменной, тогда это уравнения называется обыкновенным дифференциальным уравн