Теорема Рамсея и ее приложения

Введение

Теория Рамсея (Рэмси) - ветвь комбинаторики, появившаяся менее века назад и получившая стремительное развитие. Основные положения теории Рамсея связаны с такими разделами математики, как теория множеств, теория графов, комбинаторная теория чисел, теория вероятностей, анализ.
Теорема Рамсея, предложенная Фрэнком П. Рамсеем в 1930 году, является фундаментальным прорывом в области комбинаторики, который оказал глубокое влияние на различные области математики и информатики. Теорема утверждает, что для любых двух целых чисел r и s существует целое число n такое, что любое разбиение множества из n элементов на r классов содержит подмножество из s элементов, все элементы которого принадлежат одному классу. Теорема Рамсея имеет широкое применение в различных областях, что делает ее актуальной темой для исследования. Так, она является основополагающим аспектом комбинаторики, помогая нам понять структуру и свойства конечных множеств. Также теорема Рамсея используется для доказательства многих других комбинаторных результатов, таких как теорема Ван дер Вардена и теорема Турана.
Кроме того, данная теорема имеет применение в теории графов. Она используется для доказательства существования различных типов графов, таких как гамильтоновы циклы и совершенные графы. Теорема также используется для изучения раскраски графов, которая имеет приложения в планировании и теории игр.
Теорема Рамсея также имеет практические применения в информатике. Она используется в алгоритмах для поиска подструктур в больших объемах данных, таких как клики в графах и паттерны в последовательностях. Теорема также используется в криптографии и теории кодирования.
Теорема Рамсея находит применение в социальных науках, таких как социология и политология. Она используется для моделирования социальных сетей и понимания группового поведения. Теорема также применяется в экономике для изучения формирования коалиций и стратегического поведения.
Таки образом, теорема Рамсея является мощным математическим «инструментом», который имеет широкий спектр приложений в различных областях. Ее актуальность обусловлена фундаментальным характером и практической значимостью.
Цель исследования – рассмотреть сущность теоремы Рамсея и ее приложения.
Задачи:
 исследовать историю создания теоремы Рамсея;
 изучить основные положения данной теоремы;
 рассмотреть различные аспекты практического применения теоремы Рамсея.
Объект исследования: теорема Рамсея.
Предмет исследования: основные положения теоремы Рамсея и ее
приложения.
Методы исследования:
 обобщение;
 классификация;
 анализ;
 синтез и т.д.
Структурно работа включает введение, две главы, заключение, список использованных источников.



1. Сущность и основные положения теоремы Рамсея

1.1. Краткая биография Ф. Рамсея и его вклад в математику

Фрэнк Рамсей родился в Кембридже 22 февраля 1903 года. Его отец был математиком и членом Колледжа Магдалины, в то время как его мать выступала за избирательное право женщин и другие социальные инициативы.
В 1920 году Рамсей поступил на бакалавриат в Тринити-колледж в Кембридже, который окончил в 1923 году со степенью бакалавра по математике. За год до поступления в школу, будучи еще 17-летним школьником, Рамсей благодаря связям своего отца подружился с К. К. Огденом и И. А. Ричардсом, также членом Колледжа Магдалины. Рамсей уже прочитал «Введение в математическую философию» Рассела и «Этику» Дж. Мура, но, поскольку он заинтересовался изучением немецкого языка, Огден дал ему прочитать «Die Analyse der Empfindungen» («Анализ ощущений» Эрнста Маха. Рамсей, еще учившийся в последнем классе школы, продолжал читать Луи Кутюра, Анри Пуанкаре и Германа Вейля [12].
К 1921 году Огден был настолько впечатлен философской проницательностью Рэмси и его умением говорить по-немецки, что поручил Рэмси, будучи студентом второго курса, перевести «Трактат » Витгенштейна на английский – несмотря на скептицизм Мура по поводу того, что «Трактат» вообще можно перевести на английский язык [12].
Во время первого года обучения Рамсея на бакалавриате Огден также организовал ему встречу с Расселом в Лондоне и предложил посещать лекции Мура вместе с ним и Ричардсом. На втором семестре обучения Рамсей посетил лекции Мура «Неполные символы и логические конструкции». Позже Мур вспоминал: «В начале двадцатых годов Ф.П. Рамсей прослушал по крайней мере один курс моих лекций. Вскоре я почувствовал, что он, как и Витгенштейн, гораздо умнее меня» [12].
На первом году обучения Рамсей познакомился и подружился с Р.Б. Брейтуэйтом, студентом-математиком, который поступил на год раньше него. Брейтуэйт представил Рамсей экономисту Дж. М. Кейнсу. Рамсей вскоре был избран в «Кембриджские апостолы», тайное дискуссионное общество, активными членами которого были Брейтуэйт и Кейнс. Рамсей посещал лекции Кейнса по экономике, и они обсуждали «Трактат Кейнса о вероятности» (1921). Кейнс утверждал, что вероятность - это объективное отношение между предложениями, но Рамсей отрицал, что мы воспринимаем такие отношения и не постигаем их интеллектуально [12].
После окончания колледжа Рамсей занялся написанием критического комментария к «Трактату Витгенштейна» (1923). Огден написал Витгенштейну, предлагая встретиться с Рамсеем, и последний в сентябре 1923 года отправился в Пухберг, недалеко от Вены, чтобы провести две недели с Витгенштейном, работая с ним над «Трактатом». В 1924 году Рамсей провел 6 месяцев в Вене, проходя психоанализ, за это время он встретил Морица Шлика и Ханса Хана - членов Венского кружка. Он вернулся в Кембридж в октябре 1924 года, где был назначен научным сотрудником по математике в Королевском колледже. На заседании Клуба моральных наук в декабре того же года Рамсей познакомился со своей будущей женой Леттис Бейкер; они поженились в 1925 году, и у них родилось две дочери.
Вернувшись в Кембридж, Рамсей начал преподавать, в том числе курс по основам математики, а также написать статьи по философии, экономике и математике, благодаря которым он прославился. Он начал с завершения «Основ математики», которую он начал в Вене, и «Универсалов», опубликованных в 1925 году. В следующем году Рамсей написал собственный научный труд «Истина и вероятность» (1926), где представил субъективную теорию вероятности. Он предложил набор аксиом, которые позволяют субъекту соотносить ценность вариантов α,β,γ и отношение предпочтения между ними с действительными числами в стандартном порядке. Также Рамсей написала «Факты и предложения» (1927), первоначально вдохновленные чтением « Анализа сознания» Пирса и Рассела (1921), в котором философия сознания и языка Рамсея приобрела, по его выражению, характерный «прагматический» характер. В 1927 году Рамсей также начал работу по экономике, результатом которой стала первая из его основополагающих статей - «Вклад в теорию налогообложения» (1927), за которой позже последовала его «Математическая теория сбережений» (1928a). Рамсей также написал статью «О проблеме формальной логики» (1930), которая содержала материал, которые теперь называется теоремой Рамсея [2].
В 1927 году Рамсей также начал работу над рукописью книги « Об истине». В течение последних двух лет своей жизни Рамсей написал ряд философских заметок и статей, в том числе «Теории» и «Общие положения и причинность», завершенные в 1929 году. Они были опубликованы Брейтуэйтом вместе с «Истиной и вероятностью» в посмертном сборнике статей Рамсей «Основы математики и другие логические очерки» [2].
Рамсей заболел в конце ноября 1929 года, и ему поставили диагноз желтуха. Он переписывался со Шликом и обещал написать рецензию на «Ауфбау » Рудольфа Карнапа. Он умер 19 января 1930 года в больнице Гая в Лондоне. Его смерть была неожиданной, и ее причины остаются неясными [2].
Несмотря на то, что Рамсей работал математиком в Кембридже, он опубликовал только одну статью (1930 г.) по этой теме, хотя две идеи, которые он представил в своих статьях (1926, 1929) более философской направленности, также в конечном итоге привели к новым направлениям математических исследований.

1.2. Сущность и основные положения теоремы Рамсея

После публикации статьи «О проблеме формальной логики» теорема Рамсея начала активно развиваться. Многие математики изучали различные аспекты теории и получили множество новых результатов и теорем. Сегодня теория Рамсея является важной областью комбинаторики и теории графов и находит применение в различных областях, включая теорию кодов, теорию игр и теорию сложности вычислений [5].
Теорема Рэмси - одна из фундаментальных теорем в теории графов. Она утверждает, что для любых целых положительных чисел n, m, k существует минимальное число R(n, m, k) такое, что для любого полного графа на вершинах R(n, m, k) можно найти либо полный подграф на n вершинах, либо независимое множество на m вершинах [7].
Теорема Рэмси была первоначально доказана в связи с проблемой разрешимости в логике, но оказалось, что многие теоремы Рэмси - это фундаментальные «ядра», которые развились из нее.
Сначала рассмотрим бесконечный случай.
Теорема Рамсея (бесконечный случай). Для всех k, r   и произвольного r-раскрашивания : множества всех k –элементных подмножеств множества  всегда найдется бесконечное подмножество
S   со всеми своими k-элементными подмножествами, имеющими один и тот же цвет [7].

Наименьшие возможные значения чисел n(k, l, r), известные как числа Рамсея, обозначаются R(k, l, r) [17].