Линейные задачи оптимизации в экономике

Задача оптимизации функции в общем виде имеет следующее представление [1]
, (1)
где - вектор переменных функции, при котором достигается ее минимум;
– область ограничений, в которой происходит минимизация функции.
Вопросами поиска оптимального значения функции занимается математическое программирование.
Математическое программирование (МП) – это раздел прикладной математики, в котором выполняется разработка теоретических положений и численных методов решения оптимизационных задач. Последние представляют собой задачи, состоящие в поиске экстремума функции многих переменных с учетом наложенных на изменение этих переменных ограничений. Ограничения при этом могут формировать отдельное множество, называемое областью ограничений.
Математическое программирование исследует класс экстремальных задач, в которых множество допустимых решений допускает аналитическое задание. Оно может быть описано с помощью системы уравнений. Это придает математическому программированию черты методов оптимизации. В зависимости от характера этих уравнений или неравенств возникают задачи разного типа. Так, это могут быть задачи линейного, нелинейного, динамического программирования и некоторые их разновидности. Экстремальные задачи еще называют оптимизационными задачами или задачами оптимизации. Здесь термин «программирование» понимается в контексте планирования, оптимизации, и сравнительного анализа вариантов решения.
Предметом математического программирования, как упоминалось ранее, является поиск методов нахождения значений целевой функции, доставляющих ей экстремум на множестве ее возможных значений, определяемых ограничениями.
Наличие ограничений принципиально выделяет математическое программирование на фоне постановки экстремальных задач, известных из математического анализа. Разнообразие ограничений, их целочисленный или линейный характер, которые могут иметь место, делают непригодными методы математического анализа для поиска экстремума функции.
Все это приводит к необходимости поиска специальных теоретических и практических подходов к решению задач математического программирования. Для решения задач математического программирования необходим значительный объем вычислений и большие ресурсы машинного времени. Это придает важность простоте и удобству реализации на ЭВМ при сравнительном анализе вычислительных алгоритмов.
Все приведенное говорит о том, что математическое программирование можно рассматривать как составную дисциплину. Она содержит разделы, в состав которых входит изучение и разработка методов решения задач, .
Классификация методов математического программирования приведена на рисунке 1.