Регуляризация и обращение некоторых уравнений типа свертки

Однородное уравнение с симметричным ядром , обладает следующими свойствами:
1) уравнение (5) имеет по крайней мере одно собственное значение;
2) каждому собственному значению соответствует конечное множество линейно независимых собственных функций (5), имеющее мощность q, причем имеет место оценка , где ;
3) каждая пара собственных функций , соответствующих собственным значениям , ортогональна, т.е. ;
4) в каждом конечном интервале оси  находится конечное количество характеристических чисел. В случае, когда характеристические числа лежат в интервале , их верхнюю грань можно оценить как .
В практике часто встречается уравнение вида

с разностными симметричными ядрами , причем - периодическая функция с периодом . Собственными функциями таких уравнений являются

которым соответствуют характеристические числа

где, т.е. аn – коэффициенты Фурье функции К(х).


1.2 Теоремы Фредгольма
Уравнению (1) соответствует союзное (сопряженное) уравнение
(6)
которое используется в теоремах Фредгольма для уравнений (1) и (5).
Первая теорема. Если  не является характеристическим числом ядра, то неоднородное уравнение (1) однозначно разрешимо при любой правой части f(x).
Вторая теорема. Если  является характеристическим числом однородного уравнения (ему соответствуют собственные функции ), то оно будет также характеристическим числом и для союзного уравнения

Числа собственных функций уравнения (5) и союзного с ним уравнения, отвечающих одному и тому же собственному значению, одинаковы.
Третья теорема. Если однородное уравнение имеет ненулевое решение, то неоднородное уравнение, вообще говоря, неразрешимо. Оно разрешимо тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности (7)
где , – собственные функции союзного ядра , принадлежащие данному собственному значению.
Четвертая теорема. Множество характеристических чисел уравнения (1) не имеет предельных точек на конечном расстоянии. Если множество характеристических чисел бесконечно, то его предельная точка находится на бесконечности.
Первая и третья теоремы составляют альтернативу Фредгольма, имеющую важное значение при доказательстве существования решения интегральных уравнений. При выполнении условия (7) уравнение (1) имеет бесконечное множество решений.

2 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1 Понятие и постановка задачи регуляризации
Далее рассмотрим проблему получения приближенных значений, возникающих при рассмотрении различных математических моделей. Для этого рассмотрим математическую модель, описываемую некоторым операторным уравнением:
, ,
где − искомый элемент операторного уравнения;
– известная правая часть, принадлежащая к подпространству U;
– некоторый оператор, действующий из Z в U. Данный оператор тоже может считаться неизвестным. Для отыскания элемента z этой модели нужно вычислить значения обратного отображения .
В некоторых математических моделях отображение ???? не обязательно является «обратным оператором». Его можно рассматривать как соответствие, которое переводит множество данных из экстремальной задачи в элемент, на котором этот экстремум достигается. Отображения такого класса возникают в более сложных задачах исследования операций.
Пусть модель такова, что для нее существует отображение ???? метрического пространства ???? в метрическое пространство ????. Требуется вычислить значения данного отображения.