Разработка программы вычисления комплексных чисел.

Введение

Решение многих прикладных задач в физике и технике приводит к квадратным уравнениям, содержащим отрицательный дискриминант. Данные уравнения не имеют решения на множестве действительных чисел. При этом решение многих задач такого типа имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, называются комплексными числами. Комплексные числа широко использовались в работах в области физики, техники и других прикладных областях.
Целью работы является разработка программного обеспечения, позволяющего выполнять основные операции над комплексными числами.
Задачи работы:
- анализ теоретических аспектов использования комплексных чисел;
- изучение особенностей программирования в среде Lazarus;
- разработка программы – калькулятора комплексных чисел в среде Lazarus.
Объект исследования: комплексные числа.
Предмет исследования: программное обеспечение, позволяющее выполнять операции над комплексными числами.



 
1. Комплексное число. Определение и действия

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1.
При решении алгебраических задач зачастую возникают ситуации, когда для решения недостаточно использования множества действительных чисел. Для возможности разрешения уравнений принят порядок расширения понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение вида имело решение, недостаточно множества положительных и в силу этого возникает необходимость введения множества отрицательных чисел и числового нуля [5].
С использованием отрицательных чисел существует возможность единообразного описания изменения величин. Также, с развитием математических знаний было показано, что квадратный корень из положительных чисел имеет два значения - положительное и отрицательное, при этом операция извлечения квадратного корня из отрицательных чисел являлась запрещенной (то есть уравнение типа не имеет корней на множестве действительных чисел). При этом операция извлечения кубического корня из отрицательных чисел является корректной. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Данная формула работает в случаях, когда уравнение имеет хотя бы один корень на множестве действительных чисел (например, для уравнения х3+8х-25=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3-6х+3=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Для объяснения получившегося парадокса, итальянским алгебраистом Дж. Кардано в 1545 было предложено введение чисел новой природы.
Было показано, что система уравнений

Которая имеет решения вида: , при этом необходимо ввести правило извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Кардано ввел определение «чисто отрицательных» и «софистически отрицательных» чисел, считал их бесполезными и стремился не использовать их. На самом деле, с использованием чисел такого типа нельзя выражать ни результаты измерения какой-либо величины, ни изменений данной величины. Далее в работах итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, было проведено установление правил арифметических операций с числами такого типа, вплоть до возможности извлечения из них кубических корней. Термин мнимых чисел был введен в 1637г. французским математиком и философом Р. Декартом, а в 1777г. Х. Эйлером было предложено использовать следующее обозначение мнимой единицы, которая эквивалентна выражению , данный символ вошел в использование благодаря работам К. Гаусса (1831г).
В течение 17 века проводились исследования природы мнимых чисел через введение их геометрической интерпретации. Постепенно получала развитие техника операций над множеством комплексных чисел. На рубеже 17-18 веков было проведено построение общей теории работы с корнями n-й степени первоначально из отрицательных, а далее и из любых комплексных чисел.
В конце 18 века французским математиком Ж. Лагранжем было показано, что аппаратом математического анализа уже возможна обработка комплексных чисел и мнимых величин. С использованием комплексных чисел стало возможно представление решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнениями такого типа описываются, например, явления теории колебаний материальной точки в сопротивляющихся средах [2].
Я. Бернулли использовал комплексные числа при вычислении интегралов. Хотя в течение 18 века с использованием комплексных чисел было