Класс сопряженности в группах

1 Введение

Данная работа посвящена изучению классов сопряженности в группах. Ставится цель последовательно получить и доказать структуру класса сопряженности в группах.
В работе обсуждаются свойства группы сопряженности, доказываются теоремы о возможности гомоморфизма колец. Приводятся доказательства и иллюстрации для теорем связанных с чётностью сопряженности.
На основе этих выводов обсуждается пошаговое построение определения кольца и поля, идеалов кольца, факторов кольца.
Наконец, в работе приведён пример класса сопряженности в группах на основе определения гомоморфизма колец.

2 Определение кольца и поля
2.1 Теоретические свойства кольца

Кольцо в общей алгебре - это алгебраическая структура, в которой определены обратимые операции сложения и умножения, а ее свойства аналогичны соответствующим операциям над числами. Простейший пример кольца - это набор чисел (целых, вещественных, комплексных), набор числовых функций, определенных на заданном множестве. Во всех случаях существует множество множеств, аналогичных набору чисел, элементы которых можно складывать и умножать, и эти операции выполняются естественным образом [1].
Понятие кольца было введено для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней взаимосвязи друг с другом, независимо от природы элементов, выполняющих операцию.
Кольца являются основным объектом исследований теории колец — значительной части общей алгебры, среди которых были разработаны инструменты, широко используемые в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии в целом.
Кольцо — множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и x (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a, b, c = R:
1. a+b=b+a — коммутативность сложения;
2. a+(b+c)=(a+b)+c — ассоциативность сложения;
3. 0=R/a+0=0+a=a — существование нейтрального элемента относительного сложения.
Иными словами, кольцо — универсальная алгебра , являющаяся абелевой группой относительно сложения , полугруппой относительно умножения и обладающая двусторонней дистрибутивностью.
Обычно кольца с одним или двумя дополнительными свойствами изучаются отдельно:
- наличие единиц измерения;
- коммутативный характер умножения:
Иногда кольцо означает только кольцо с единицами (то есть для них требуются полугруппы), но также изучаются безразмерные кольца (например, четное кольцо является безразмерным коммутативным ассоциативным кольцом [5]).
Следующие свойства могут быть получены непосредственно из аксиомы кольца:
- относительно сложения в кольце нейтральный элемент уникален;
- для любого элемента кольца, в отличие от него при сложении, этот элемент уникален;
- нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, уникален.

2.2 Поле частных и кольцо частных

Общее кольцо (R) имеет конструкцию, которая позволяет создавать наименьшее поле, содержащее его. Поле частного кольца - это эквивалентный класс формальных дробей в следующем соотношении эквивалентности:
p1q2=p2q1
Не очевидно, что данное отношение на самом деле является отношением эквивалентности: для доказательства необходимо использовать целостность кольца. Эта структура может быть обобщена на любое коммутативное кольцо: мультипликативно замкнутую систему (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее ноль).
В данном случае выполняется следующее неравенство:
s * (r1s2-r2s1)=0
Эта конструкция также называется кольцевым расположением (поскольку в алгебраической геометрии она позволяет изучать локальные свойства многообразий в их отдельных точках) [5].
Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе:
S = {10n \ n > 0}.
В частности, для целостного кольца это отображение инъективно [6].

3 Определение подкольца, подполя, критерии подкольца, подполя
3.1 Определения и примеры подколец и подполей

Критерий 1. Первый критерий кольца.
Пусть это αA; xn - кольцо BA. Тогда B является подкольцом кольца A тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие четыре условия:
1) B αA;
2) (a1+a2)(a1+a2);
3) aB–aB;
4) a1, a2
Критерий 2. Второй критерий кольца.
Пусть это αA; xn - кольцо BA. Тогда B является подкольцом кольца A тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие три условия:
1) B αA;
2) a1, a2+a1–a2B;
3) a1, a2 - a1, a2B.
Критерий 3. Критерий подполя.
Пусть это будет αA; xn - кольцо BA. Тогда B является подполем поля A тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие три условия [2]:
1) B αA;
2) a1, a2=a1–a2B;
3) a1, a2 = αA1, αA2.
Критерий 4. Характеристики числовых подмножеств и подполей.
- целочисленное кольцо является наименьшим числовым кольцом;
- поле рациональных чисел является наименьшим числовым полем;
- каждый изоморфизм числового поля оказывает одинаковое влияние на набор рациональных чисел.