Применение теории максимума и минимума функции одной переменной к решению задач

Введение
Цель данной курсовой работы заключается в рассмотрении максимумов и минимумов функций одной переменной и подробном описании методов их определения. В рамках работы формулируются необходимые и достаточные условия существования максимумов и минимумов функции, производится выбор метода нахождения экстремума и его математическое обоснование.
Изучение задач на нахождение экстремумов началось в очень давние времена. Однако только в период создания математического анализа были сформированы первые методы решения таких задач. Сегодня анализ функций, включая исследование их экстремумов, занимает важное место в математическом анализе, поскольку теория максимумов и минимумов используется во множестве прикладных задач. Это делает тему актуальной как с точки зрения теоретического обоснования, так и с точки зрения практического применения.
Теория экстремумов разрабатывалась на протяжении веков и прошла путь от начальных эмпирических наблюдений до строгого математического анализа. Серьёзный вклад в развитие данной области внесли ученые, такие как Исаак Ньютон, Готфрид Вильгельм Лейбниц, Леонард Эйлер и Лазарь Понтрягин. В частности, развитие теории оптимального управления, появившейся в середине XX века, значительно расширило возможности применения теории экстремумов в инженерии, экономике и науке.
Объект и предмет исследования
Объект исследования – функции одной переменной.
Предмет исследования – методы нахождения экстремумов, их теоретическое обоснование и практическое применение.
Цели и задачи исследования
Целью работы является всестороннее изучение методов нахождения экстремумов функций одной переменной. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
Изучение условий существования максимумов и минимумов функций.
Исследование методов нахождения критических точек с использованием производных.
Применение тестов первого и второго порядка для анализа экстремумов.
Демонстрация практического применения теории на примерах из различных областей.
Для достижения поставленных целей используются аналитические методы математического анализа, такие как дифференцирование, исследование поведения функций в критических точках и на краях заданного интервала. Основной методологический подход – использование теоретических положений для решения практических задач оптимизации.
Практическая значимость исследования заключается в том, что изучение экстремумов функций позволяет эффективно решать задачи оптимизации в таких областях, как экономика, инженерия, физика, биология и разработка технологий. Например, теория оптимального управления нашла применение в космической технике, логистике и управлении производственными процессами.
В настоящей курсовой работе рассматривается тема экстремумов функций одной переменной, что является основой для изучения ряда инженерных дисциплин. Результаты исследования могут быть полезны для студентов и специалистов, занимающихся теорией оптимизации и её применением на практике.


 
Глава 1. Теоретические основы поиска максимума и минимума функции одной переменной
1.1 Историческая справа и задачи оптимизации максимальных и минимальных значений
Примерно 2500 лет тому назад началось изучение проблем, связанных с определением максимальных и минимальных значений. В период зарождения математического анализа, около трехсот лет назад, были разработаны первые универсальные подходы для анализа и решения экстремальных задач [1,10].
Пьер Ферма внес значительный вклад в разработку методов нахождения экстремальных значений функций. В 1638 году он сообщил Декарту о своем решении задачи поиска максимумов и минимумов функции f(x). Для этого Ферма использовал следующее уравнение:
(f(x+h)-f(x)=0)/h=0, (1)
где:
f(x) – исследуемая функция,
h – бесконечно малое приращение аргумента.
Проведя необходимые преобразования, Ферма приравнял к нулю и вывел условие экстремума. Аналогично он использовал следующее уравнение:
(f(y)-f(x))/(y-x)=0, (2)
где:
f(x) и f(y) – значения функции в точках x и y,
y – значение аргумента, стремящееся к x.
При исследовании функции f(x) на экстремумы, Пьер Ферма применял следующий метод: если функция достигает максимального значения при некотором x, то для любого небольшого изменения h значение функции f(x+h) будет меньше, чем f(x). Это приводит к выводу, что первый член разложения функции в ряд Тейлора должен быть равен нулю:
P=0, (3)
где P – первый член разложения функции в ряд Тейлора.
Для минимума аргументация аналогична. Кроме того, Ферма понимал, что знак второго члена разложения Qуказывает на тип экстремума: максимум или минимум.
Ферма, несмотря на значительный вклад в математику, не стремился к публикации своих открытий и использовал сложные алгебраические методы с запутанной нотацией. Это стало препятствием для его полного вклада в разработку дифференциального исчисления. Со временем дифференциальное исчисление получило дальнейшее развитие и было подробно изложено в работе Эйлера «Дифференциальное исчисление» 1755 года, где оно было представлено в комплексном и завершенном виде.
Маклорен внес значительный вклад в математику, предложив методы для нахождения экстремальных значений функций одного аргумента y= f(x). Вариационное исчисление, возникшее в XVIII веке, было развито Эйлером и Лагранжем, которые превратили его в последовательную математическую теорию. Основная цель этой области математики заключается в поиске максимальных и минимальных значений функционалов [11].
Хотя задачи вариационного исчисления заметно шире, в приложениях они главным образом сводятся к двум основным задачам:
Нахождение точек в пространстве функций, на котором определён функционал Φ[f] – точек стационарного функционала, то есть нахождение для заданного Φ[f] таких f при которых любое бесконечно малое δfудовлетворяет условию:
δΦ=0,или эквивалентно δf/δΦ=0, (4)
Нахождение локальных максимумов или минимумов функционала, то есть определение тех f, на которых Φ[f] принимает локально экстремальные значения (экстремали).
Обе проблемы взаимосвязаны: чтобы решить вторую, необходимо сначала решить первую и затем установить, достигнут ли действительно локальный максимум или минимум. В ходе этого процесса также определяется характер экстремума. Например, если функция стационарного функционала уникальна, и любое значительное отклонение приводит к изменениям функционала одного знака, то можно с уверенностью сказать, что достигнут экстремум и определить его тип.
Зачастую задача (1) имеет такую же или даже большую значимость по сравнению с задачей (2). Это сохраняется и в случаях, когда классификация стационарной точки не является однозначной, то есть, когда она может быть минимумом, максимумом, седловой точкой или слабым экстремумом – точкой, в окрестности которой функционал либо строго постоянен, либо его отклонение проявляется только на более высоких порядках, чем второй.
Пусть задано некоторое множество Ω и функция с вещественными значениями f: Ω→R. Задача оптимизации – это задача о поиске экстремумов и точек, в которых они достигаются. Такая задача записывается в виде:
{■(f(x)→extr@x∈Ω) ┤(5)

При этом f – целевая функция (ЦФ), а множество Ω – область определения или допустимое множество задачи.
Задача максимизации эквивалентна задаче минимизации с обратным знаком: при этом эквивалентность понимается в том смысле, что множества решений этих задач совпадают и, кроме того,
maxf(x)=-x∈Ωmin{-f(x)}, (6)
Поэтому достаточно рассмотреть только одну из этих задач.
Наиболее часто употребляемым достаточным признаком существования экстремума является следующая теорема:
Теорема 2.1 (Вейерштрасс) [3, 14, 15].
Если Ω – компакт, а f:Ω→R – непрерывная функция, то она достигает на Ω своего экстремума.
Эта теорема, однако, не дает метода нахождения экстремума. Такие методы разработаны для множеств и функций, обладающих рядом дополнительных свойств. В предлагаемой курсовой работе рассматриваются только одномерные задачи, то есть задачи вида:
{■(f(x)→extr@x∈Ω ,Ω⊂R) ┤ (7)
Рассмотрим понятие, весьма важное в теории задач оптимизации.
Определение.
Пусть задана функция f:R→R и множество Ω⊂R. Точку a∈Ω называют точкой локального экстремума функции f на множестве Ω, если существует такая окрестность U(a) точки a, что
(x)≥f(a)(или)f(x)≤f(a),∀x∈U(a)∩Ω , (8)
Часто точки экстремума, в отличие от точек локального экстремума, называют точками глобального экстремума.
Важность локальных экстремумов в задачах оптимизации видна из следующего очевидного наблюдения: если a – точка максимума или минимума, то a – точка локального максимума или минимума.
Поэтому, если точка экстремума существует, то её следует искать среди точек локального максимума или минимума. Это наблюдение будет существенно использоваться в представленных в курсовой работе методах исследования задач оптимизации.
В следующем разделе приводятся эффективные методы поиска локальных экстремумов для дифференцируемых функций.
1.2 Понятие экстремума функции одной переменной
В данном разделе [4,13] рассматривается одномерная задача оптимизации, то есть ситуация, когда ЦФ f: R → R определена на вещественной прямой. Одним из основных результатов, используемых при решении таких оптимизационных задач, является лемма Ферма.
Лемма 1.1 (Ферма). Пусть a – точка локального экстремума функции f и существует производная f ' (a). Тогда
f ' (a) = 0, (9)
Стационарными называются точки, в которых производная функции обращается в нуль. Стационарные точки и точки, в которых не существует производной, подозрительны на экстремум.
Рассматриваемое ниже следствие из теоремы Вейерштрасса часто используется при решении вопросов о существовании глобального максимума или минимума функции на множестве
Следствие 1.2. Если функция f: R → R непрерывна и удовлетворяет условию
lim┬(x→∞)⁡〖f(x)= +∞〗 (или lim┬(x→∞)⁡〖f(x)= - ∞〗), (10)
то она достигает своего глобального максимума или минимума на любом замкнутом подмножестве R.
Определение. Утверждают, что функция f меняет знак с «+» на «-» в точке a, если существует такая окрестность U(a), что f(x) > 0 для любых x ∈ U(a), лежащих левее точки a,и f(x) < 0 для любых x ∈ U(a), лежащих правее точки a. Аналогично, утверждают, что функция f меняет знак с «-» на «+» в точке a, если существует такая окрестность U(a),что f(x) < 0 для любых x ∈ U(a), лежащих левее точки a,и f(x) > 0 для любых x ∈ U(a), лежащих правее точки a. Рассмотрим известные из курса математического анализа достаточные условия экстремума функции.
Теорема 1.3 (достаточное условие экстремума первого порядка). Пусть функция f непрерывна в точке a и дифференцируема в окрестности точки a. Тогда если при переходе через точку a производная меняет знак с «+» на «-», то a – точка строгого локального максимума, а если при переходе через точку a производная меняет знак с «-» на «+», то a - точка строгого локального минимума.
Теорема 1.4 (достаточное условие экстремума второго порядка). Пусть функция f дважды дифференцируема в точке a и f ' (a) = 0.
Тогда:
1) если f"(a)> 0, то a – точка локального минимума,