Рациональные неравенства. Метод интервалов.

Введение

В эпоху современных технологий значительно возросло влияние окружающей среды на молодое поколение. Наблюдается пересмотр ценностей, социальное расслоение и трансформация психологических стереотипов. Школа, как важная часть общества, отражает эти изменения, являясь своего рода микромоделью проблем, существующих в стране. Задачи преподавателя также претерпевают изменения. Теперь он выступает не только как источник знаний, но и как организатор процесса самообразования учеников, вдохновляющий их на творческий поиск. Учителю необходимо обнаруживать индивидуальные подходы, что возможно лишь через совместное креативное сотрудничество между ним и учениками. Математика, как королева наук, требует от педагога умения привить ученикам любовь и понимание предмета с первых уроков. Она предоставляет обширные возможности для развития детского мышления в процессе обучения. Тема «Рациональные неравенства. Метод интервалов.» представляет собой сложный материал для школьников. Чтобы освоить навыки решения этих неравенств, требуется значительное время, которого часто не хватает. Ошибки могут допускать даже те, кто успешно справлялся с рациональными уравнениями. Процесс решения рациональных неравенств требует равносильных преобразований, что добавляет сложности, тем более, что такие неравенства встречаются на государственном экзамене по математике. Исследовательская проблема заключается в определении методических характеристик преподавания темы «Рациональные неравенства» в рамках курса алгебры для учеников основной школы.
Объектом исследования является процесс обучения алгебре в основной школе. Предметом анализа выступают методические подходы к обучению теме «Рациональные неравенства» в алгебре для учащихся основной школы.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
1.1 Развитие рациональных неравенств в математике

Автор книги «Сущность математики» А. Фосс подчеркивает, что открытие рациональных чисел стало одной из основ для развития математических теорий. Он отмечает, что слово «рациональное» (число) происходит от латинского «ratio», что в переводе с греческого «логос» означает отношение. Рациональные числа представляют собой такие числа, которые могут быть выражены в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. С развитием математических знаний стало очевидно, что рациональных чисел недостаточно для описания всех явлений, что и привело к расширению концепции чисел и введению более сложных понятий, таких как рациональные и действительные числа.
В Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования результаты обучения по предмету «Математика» включают:
1. формирование представления о математике как методе познания мира, который позволяет описывать и исследовать реальные процессы и явления;
2. развитие навыков работы с учебными математическими текстами (анализ, извлечение информации), точное и корректное выражение собственных мыслей с использованием математической терминологии и символов, проведение классификаций, логическое обоснование и доказательство математических теорем;
3. расширение понимания чисел и числовых систем, начиная от натуральных и заканчивая действительными, формирование навыков устных, письменных и инструментальных вычислений;
4. освоение системы функциональных понятий, развитие умений применять графические представления для решения различных математических задач, а также для описания и анализа реальных зависимостей;
5. умение использовать изученные концепции, результаты и методы для решения практических задач и задач из смежных предметов, при необходимости прибегая к справочным материалам и компьютерам, а также применять оценку и прикидку в практических расчетах.
В Примерной программе основного общего образования указаны запланированные результаты по теме «Неравенства» для 7-9 классов на различных уровнях. Таким образом, учащийся на базовом уровне научится:
• Работать с понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение неравенства.
• Проверять правильность числовых равенств и неравенств;
• Решать линейные неравенства, а также простые неравенства, которые могут быть сведены к линейным;
• Находить решения систем простых линейных уравнений и неравенств;
• Определять, является ли конкретное число решением уравнения (неравенства);
• Представлять решения неравенств и их систем на числовой прямой.
• В повседневной деятельности и при обучении другим предметам: "Составлять и решать линейные уравнения в рамках задач, возникающих в изучении других дисциплин" [16].
2. На базовом и углубленном уровне:
• Работать с терминами: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, эквивалентные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);
• Решать линейные уравнения и уравнения, которые могут быть приведены к линейным, посредством тождественных преобразований;
• Решать квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, с помощью тождественных преобразований;
• Решать дробно-линейные уравнения;
• Решать простейшие рациональные уравнения вида ;
• Решать уравнения с применением разложения на множители и замены переменной.
• Применять метод интервалов для решения как целых, так и дробно-рациональных неравенств;
• Решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;
• Находить решения простых квадратных уравнений с параметрами;
• Решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;
• Находить решения простых уравнений в целых числах. В повседневной практике и при изучении других предметов:
• формулировать и решать линейные и квадратные уравнения, сводимые к ним уравнения, системы линейных уравнений, а также неравенства при решении задач по другим дисциплинам;
• проводить оценку правдоподобия итогов, полученных в ходе решения линейных неравенств, квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при выполнении задач других учебных предметов;
• выбирать необходимые уравнения, неравенства или их системы для создания математической модели конкретной реальной ситуации или практической задачи;
• уметь интерпретировать результаты, полученные при решении уравнений, неравенств или систем, в контексте поставленной реальной ситуации или практической задачи.
Таким образом, рациональные неравенства занимают важное место в курсе алгебры основной школы, и их решение является необходимым этапом в математическом образовании.

1.2. Анализ содержания теоретического материала темы в учебниках алгебры 9 классов

В девятом классе алгебры с углубленным изучением математики рассматриваются разделы, такие как «Неравенства» и «Системы неравенств». Темы, включенные в «Неравенства», охватывают: «Числовые неравенства, их свойства, проверка истинности при заданных значениях переменной, неравенства с переменной, строгие и нестрогие неравенства, доказательства неравенств, неравенства о средних для двух чисел, понятие решения неравенства, множество решений, равносильность неравенств, линейное неравенство и его решения, линейное неравенство с параметром, квадратное неравенство и его решения, включая использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов, а также запись решения квадратного неравенства».
В разделе «Системы неравенств» изучаются: «Системы с одной переменной, решение линейных, квадратных, дробно-рациональных и рациональных систем, изображение решения на числовой прямой, неравенства с двумя переменными, решение линейного неравенства с двумя переменными, графическая интерпретация и применение графического метода».
Учебные материалы основной школы содержат определения и методы решения рациональных неравенств, как указано в пособии Б.В. Соболя, где рациональное неравенство описывается как неравенство с неизвестными под знаком корня.
Изучим способы решения рациональных неравенств, представленные в школьных учебниках по математике.
Методы работы с рациональными неравенствами включают:
1.Возведение обеих сторон неравенства в одинаковую степень.
Этот метод заключается в преобразовании неравенств в рациональную форму посредством возведения обеих сторон неравенства в степень. Рассмотрим пример решения рационального неравенства, используя данный способ.
Применяя этот метод, можно упростить задачу и получить более удобные для анализа уравнения. Важно помнить о том, что при возведении неравенств в степень необходимо следить за тем, сохраняется ли направление неравенства, особенно если речь идет о четных степенях, так как это может привести к несоответствиям в итоговом решении.
Таким образом, освоение методов решения рациональных неравенств может значительно облегчить задачи, возникающие в процессе изучения математики.
Решите неравенство: .
Решение. Возведем обе части в квадрат. Получим:
.
Ответ:
2.Метод интервалов.
Этот подход считается наиболее универсальным для решения неравенств и подходит практически ко всем их видам. Алгоритм действий включает несколько шагов: сначала необходимо определить область, где функция определена, затем в этой области найти нули функции, которые разделяют её на интервалы. Каждый из этих интервалов должен быть исследован, так как внутри них функция либо определяется, либо непрерывна, сохраняя при этом постоянный знак. Чтобы выяснить знак функции на выбранном интервале, необходимо протестировать значение в любой точке этого интервала. Приведем пример решения рациональных неравенств, используя метод интервалов.
Решить неравенство