Жорданова. Нормальная форма матрицы

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования данной темы обусловлена широким применением линейной алгебры в различных областях науки и техники, таких как физика, инженерия, экономика, информатика и многие другие. Знание нормальных форм позволяет значительно упростить решение линейных систем, нахождение собственных значений и собственных векторов, а также является основой для разработки алгоритмов в вычислительных системах и решающих задачах оптимизации.
Целью настоящей работы является изучение теоретических основ нормальных форм матриц и их применения в решении различных математических задач. В ходе исследования будут рассмотрены основные виды нормальных форм, такие как диагональная, жорданова и каноническая формы, а также методы их получения и применения.
Задачи исследования включают:
-Анализ различных типов нормальных форм матриц.
-Изучение методов приведения матриц к нормальной форме.
-Рассмотрение практических примеров применения нормальных форм в решении линейных систем и других задач.
Объектом исследования являются матрицы и их свойства, связанные с преобразованиями и упрощениями структуры, а предметом исследования – математические методы преобразования матриц в нормальную форму.
Методы исследования: изучение и анализ научной литературы, индукция, анализ, обобщение.
Работа состоит из введения, двух глав основной части, заключения и списка использованных источников.






ГЛАВА I. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
МАТРИЦЫ

В этой главе будет показано, к какому простейшему виду можно привести квадратную матрицу А с помощью преобразования подобия: А ^ В-1 АВ. В случае, если рассматриваются матрицы над полем комп¬лексных чисел, то такой простейший вид всегда существует, и называ¬ется жордановой нормальной формой матрицы А. Название происходит от фамилии автора, обнаружившего этот факт, известного французско¬го математика К. Жордана (1838-1922).
Доказательство основного результата будет проводиться поэтапно, каждый пункт данной главы можно рассматри¬вать как очередной этап доказательства.
Корневые подпространства

Пусть V — векторное пространство над полем К, а оператор A : V → V является линейным. Рассмотрим множество V(X), содержащее все векторы V из V, для которых существует целое число k > 0, такое что (A - XE)^k V = 0.
Лемма 1. Множество V(X) представляет собой подпространство векторного пространства V, инвариантное по отношению к оператору A (а значит, и к любому A - Y ∈ K). В то же время V(X) = {0} тогда и только тогда, когда X является собственным значением оператора A, и в этом случае V_X ⊆ V(X).
Доказательство. Пусть V1, V2 ∈ V(X), а α1, α2 ∈ K. Существуют такие натуральные k1, k2 > 0, что (A - XE)^(k1)V1 = 0 и (A - XE)^(k2)V2 = 0. Обозначим k = max(k1, k2). Тогда (A - XE)^k V1 = 0 и (A - XE)^k V2 = 0, что подразумевает, что (A - XE)^k (α1 V1 + α2 V2) = 0, следовательно, V(X) является подпространством V.
Теперь удостоверимся в инвариантности подпространства относительно A. Верно, что A(A - XE) = A^2 - X A = (A - XE) A. Это дает, что для любого неотрицательного целого k выполняется равенство A(A - XE)^k = (A - XE)^k A. Если V ∈ V(X), то существует k, для которого (A - XE)^k V = 0. Следовательно, (A - XE)^k Av = A(A - XE)^k V = 0, что значит, Av ∈ V(X).
Если X — собственное значение A, то очевидно, что {0} = V_X ⊆ V(X). В обратном случае, если V(X) = {0}, это означает, что существует вектор V = 0 и число k > 1, для которого (A - XE)^k V = 0, но (A - XE)^(k-1)V ≠ 0. Таким образом, вектор (A - XE)^(k-1)V будет собственным вектором A, ассоциированным с собственным значением X.
Определение 1. Корневым подпространством оператора A называется пространство V(X), если X является собственным значением A.
Определение 2. Оператор B : V → V называется нильпотентным, если существует k > 1, такое что B^k = 0. То есть, для каждого V ∈ V выполняется B^k V = 0. Если B^k = 0, но B^(k-1) ≠ 0, то k обозначает степень нильпотентности оператора B.
Пример 1. Рассмотрим линейный оператор, чья матрица в некотором базисе выглядит следующим образом:
(■(0 а_1,2 а_1,3&⋯&a1,n@⋮&⋱&⋮@0&⋯&0))

тогда Ап будет нильпотентным.
Лемма 1.1.2. Пусть λ — собственное значение оператора A. В таком случае ограничение оператора A — ХЕ на подпространстве V(X) является нильпотентным.
Доказательство. Пусть V₁,…, Vₘ — некоторый базис подпространства V(X). Существуют положительные целые числа k₁,…, km такие, что (〖А-λЀ)〗^k v_j= 0 для каждого j = 1,…, т. Если взять k равным максимуму (k₁,…, km), то выполняется равенство (〖А-λЀ)〗^k v_j= 0 для всех j = 1,…, m. Произвольный вектор v из v(λ) может быть представлен в виде ∑_(j=1)^m▒〖a_j v_j 〗.Таким образом:
〖(А-λЀ)〗^k v= 〖(А-λЀ)〗^k v(∑_(j=1)^m▒〖a_j v_j=∑_(j=1)^m▒〖a_j ((〖А-λЀ)〗^k v_j )=0〗〗
Однако это именно то, что утверждается в формулировке леммы. В частности, мы можем заметить, что уровень нильпотентности оператора А — ХЕ на V (Х) не превышает числа к.
Лемма 3. Пусть В : V → V — это нильпотентный оператор, где dim(V) = п. Тогда уровень нильпотентности оператора В не может превышать п. В частности, Вп = 0.
Следует отметить, что данное утверждение верно для любого поля К.
Доказательство. Предположим, что Вк = 0, в то время как Вк—1 ≠ 0. Это подразумевает, что для всех x из V выполняется соотношение Вкx = 0, однако существует такой вектор y из V, что Вк—1y = 0. Обозначим через BmV образ оператора Вт, то есть множество всех векторов вида B'mv, где v пробегает все пространство V. В этом случае можно записать цепочку включений:
V⊇BV ⊇B^2 V⊇⋯ B^m V⊇B^(m+1)⊇⋯ B^(k-1)⊃B^k V={0}.
Предположим, что все элементы Вг-1V Р BiV для 0 < і < т являются строгими, а BmV равно Вт+1V. Если BmV = {0}, то есть т = к, мы получаем строго убывающую цепь неравенств.

Из этого можно заключить, что k > p. Рассмотрим, чтоB^(i-1)⊇B^i V и это подпространство не нулевое, следовательно, 0 ≤ i ≤ m. Учитывая, что BmV включает Bt+1V, для любого V из V существует w из V такое, что BtV = Bt+1w. Можно выбрать вектор V так, что Bk-1V = 0. При условии t < k - 1, это также подразумевает BmV = 0. Теперь применим оператор Bk-t-1 к обеим частям уравнения BmV = Bt+1w. Получаем равенство Bk-1V = Bkw. С левой стороны находится ненулевой вектор по предположению, тогда как Bkw = 0, так как k представляет собой степень нильпотентности оператора B. Это ведет к противоречию, что и доказывает лемму.