Методы Гаусса решения систем линейных уравнений. Подсчет числа арифметических операций при решении систем методом Гаусса

 
Введение
Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками.
Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.
Актуальность работы обусловлена тем, что системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Целью написания курсовой работы является изучение основных методов решения систем уравнений.
В процессе написания данной курсовой работы должны решаться следующие задачи:
- рассмотреть основные методы решения систем уравнений;
- изучить методы решения уравнений;
-охарактеризовать самые распространенные методы решения систем уравнений, определив основные плюсы и минусы использования различных методов;
- раскрыть отличительные черты разных систем уравнений.
Предметом изучения являются системы уравнений, а объектом изучения являются методы решения уравнений.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени сn неизвестными.
Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени сn неизвестными:
a11 x1 + … + a1n xn = b1 ;
a21 x1 + … + a2n x n = b2;
………………………………
am 1 x 1 + … + amn xn = bm .
Здесь x1, …, xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.
Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее
 
Глава I. Виды систем линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.
Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Рис.1 Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:
а * х = в,
называется линейным.
Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись.
К этим действиям относятся:
• раскрытие скобок;
• перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
• приведение подобных слагаемых.


Рис. 2. Решение системы уравнений графическим способом.
В случае, когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла.
Другими словами, полагается узнать область определения уравнения. Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной.
То есть «х» будет равен в/а.
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y. F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует, их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы, правая часть которых равна нулю.
Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более. Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Частные случаи линейного уравнения и их решения
Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов.
Каждый из них имеет конкретное решение.
В первой ситуации: а * х = 0, причем а ≠ 0.
Решением такого уравнения всегда будет х = 0. Во втором случае «а» принимает значение равное нулю: 0 * х = 0.
Ответом такого уравнения будет любое число.
То есть у него бесконечное количество корней. Третья ситуация выглядит так: 0 * х = в, где в ≠ 0.
Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.