Подходы к численному решению линейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами

Введение
Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП) являются фундаментальным инструментом математического моделирования во многих областях науки и техники, включая физику, механику, химию, биологию и экономику. Они описывают эволюцию различных процессов во времени и пространстве, где зависимая переменная является функцией нескольких независимых переменных. В большинстве практически значимых задач коэффициенты в ДУЧП являются переменными, что отражает неоднородность свойств моделируемой среды.

Основные методы решения
2.1. Метод конечных разностей
Метод конечных разностей (МКР) — это численный метод, который используется для решения дифференциальных уравнений, заменяя производные конечными разностями. Этот метод является одним из наиболее широко применяемых в численных расчетах, поскольку он достаточно прост в реализации и эффективен для ряда типов задач, включая задачи с переменными коэффициентами.
Метод конечных разностей основывается на аппроксимации производных функции с помощью конечных разностей. Это позволяет свести дифференциальные уравнения к системе алгебраических уравнений, которые затем решаются с использованием стандартных численных методов.
Для примера, в одномерной задаче по пространственной переменной x, первая производная функции u(x,t) может быть аппроксимирована разностным выражением:

.
Шаг 5: Начальное условие
Для начального условия
u(x,0)=sin⁡(πx)u(x,0)
на сетке:ui0=sin⁡(πxi) u_i^0= sin(πx_i )
где xi=i⋅Δx xi = i
Шаг 6: Итерации по времени
Теперь можно итерировать по времени, начиная с n=0n = 0, используя аппроксимацию для нахождения значений
uin+1u_i^{n+1}
на каждом шаге времени.
Шаг 7: Параметры
Для численного решения нужно задать параметры: шаг по времени Δt, шаг по пространству Δx\, а также количество шагов времени Nt.
2.2. Метод конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) — это численный метод, который широко используется для решения дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы, такие как теплообмен, механика и электродинамика. Основная идея МКЭ заключается в разбиении области на конечные элементы и аппроксимации решения внутри этих элементов с последующим решением системы уравнений для всей области.
2.2.1. Основные принципы метода
Дискретизация области (разбиение на элементы):
Область Ω\Omega, на которой решается задача, делится на множество маленьких элементов Ωe\Omega_e с общей сеткой. Это разбиение называется сеткой.

В двумерных задачах используются, например, треугольники, в трёхмерных — тетраэдры. Чем меньше элементы, тем точнее решение, но вычислительная нагрузка возрастает.
Выбор аппроксимирующих функций (функций формы):
Для каждого элемента выбираются аппроксимирующие функции φi\varphi_i, которые описывают решение на этом элементе. Эти функции называются функциями формы.




2.3. Метод спектральных элементов
Метод спектральных элементов (МСЭ) — это мощный численный метод, который объединяет преимущества метода конечных элементов (МКЭ) и спектрального метода. Этот метод использует высокоразвёрнутые аппроксимации на каждом элементе, часто с использованием многочленов, таких как многочлены Лежандра или Чебышёва, что позволяет достичь высокой точности решения. МСЭ используется для решения дифференциальных уравнений в области, которая может быть разбита на конечные элементы, и решает задачу с высокой точностью благодаря использованию глобальных функций аппроксимации.
2.3.1. Основные принципы метода
Метод спектральных элементов сочетает в себе элементы метода конечных элементов и спектральных методов. В отличие от метода конечных элементов, который использует кусочно-линейные или кусочно-нерегулярные функции для аппроксимации решения на каждом элементе, метод спектральных элементов применяет глобальные полиномиальные функции высокого порядка для аппроксимации решения внутри каждого элемента.
Разбиение области и использование глобальных функций: Как и в методе конечных элементов, область решения делится на конечные элементы, но в МСЭ для аппроксимации решения на каждом элементе используются глобальные полиномиальные функции. Эти функции могут быть многочленами Лежандра, Чебышёва или других полиномов, которые обеспечивают более высокую точность по сравнению с обычными линейными или квадратичными функциями.
Задача 1: Проблема упругой деформации стержня
Условие задачи:
Рассмотрим одноосный стержень длиной LL, который подвергается растягивающему усилию. Пусть модуль упругости материала стержня EE является переменным вдоль его длины xx, то есть
E(x)=E0⋅(1+sin⁡(πx) )E(x)= ,гдеE_0
— константа. Стержень имеет поперечное сечение площади A и подвержен осевому усилию , которое изменяется во времени. Начальная деформация стержня равна нулю.
Задача:
Необходимо решить задачу о деформации стержня с переменным модулем упругости при действии силы F(t).
Математическая постановка:
Для задачи упругой деформации стержня в одномерном случае уравнение деформации может быть записано в виде:

где u(x,t) — перемещение точки стержня в момент времени t, A — поперечная площадь сечения стержня, E(x) — модуль упругости, который зависит от x, и F(t) — приложенная сила.
Граничные и начальные условия:
На концах стержня x=0x = 0 и x=Lx = L действуют условия Дирихле (стержень фиксирован):
u(0,t)=0, u(L,t)=0
Начальные условия: начальная деформация стержня равна нулю:
u(x,0) = 0
Решение задачи методом спектральных элементов:
Разделим область x∈[0,L]x на N конечных элементов. Для каждого элемента будем использовать спектральные функции, такие как многочлены Лежандра, для аппроксимации перемещения u(x,t) на каждом элементе.
Применим вариационный принцип для получения слабой формы задачи. Локальные уравнения для каждого элемента будут включать в себя переменный коэффициент E(x), который следует учитывать при построении локальных матриц.
Составим глобальную систему уравнений с учетом всех взаимодействий между элементами.
Применим численное решение для нахождения перемещений u(x,t) для всех точек области [0,L] и для всех моментов времени.
Задача 2: Изгиб балки с переменным модулем упругости
Условие задачи:
Рассмотрим прямолинейную балку длиной L, которая подвергается изгибу. Модуль упругости материала балки E(x) также зависит от координаты вдоль балки и задан функцией E(x)=E0⋅(1+ sin(πx). Балка поддерживается двумя заделками на концах (условия Дирихле), а на её середину действует точечная сила F(t), которая изменяется во времени.
Задача:
Необходимо найти прогиб балки w(x,t)w(x,t), учитывая переменность модуля упругости и время зависимости силы.
Математическая постановка:
Уравнение изгиба балки в теории упругости для задачи с переменным модулем упругости записывается как:


где:
w(x,t) — прогиб балки в точке x,
I — момент инерции поперечного сечения балки,
E(x) — переменный модуль упругости материала балки,
F(t) — точечная сила, действующая в центре балки.
Граничные условия:
В точках x=0 и x=L балка заделана, то есть:
w(0,t)=0,w(L,t)=0
и моменты изгиба на концах равны нулю:
Начальные условия: прогиб и скорость прогиба в начальный момент времени равны нулю:

Решение задачи методом спектральных элементов:
Разделим балку на несколько конечных элементов, используя спектральные многочлены для аппроксимации прогиба w(x,t).
Построим слабую форму задачи, используя вариационный принцип, с учётом переменного коэффициента E(x).
Составим глобальную систему уравнений для каждого временного шага, учитывая влияние переменного модуля упругости.
Решим систему уравнений с помощью численных методов для нахождения прогиба балки в любой точке и в любой момент времени.






2.4. Метод разностных схем
Метод разностных схем — это один из численных методов, широко используемых для решения дифференциальных уравнений, как в области механики, так и в других областях (например, в теплообмене или гидродинамике). Метод основан на приближении производных с помощью конечных разностей, что позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в систему алгебраических уравнений, которые можно решать численно.
2.4.1. Основные принципы метода
Аппроксимация производных:
Для дискретизации дифференциальных уравнений методом разностных схем используется аппроксимация производных с помощью конечных разностей. Например, первая и вторая производные можно аппроксимировать следующими схемами:
Для первой производной:





5. Примеры численного решения
5.1. Решение задачи теплопроводности (метод конечных разностей)
Задача: Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности на интервале [0,1], описанную уравнением:

Граничные условия:
u(0,t)=100 , u(1,t)=50 .
Начальные условия:
u(x,0)=75 для всех x∈[0,1]x
Для численного решения используем метод конечных разностей с явной схемой. Разбиение по пространству на 10 узлов (Δx=0.1) и по времени с шагом Δt=0.005.
Разбиваем интервал на 10 равных частей: x0=0,x1=0.1,…,x9=0.9,
Применяем явную схему конечных разностей:

Где
Начальные условия: ui(0)=75 для всех узлов, кроме u0=100 и u10=50.
Для первого шага по времени:
u11=75+0.5×(100−2×75+50)=75+0.5×(100−150+50)=75+0.5×0=75
Аналогично для других узлов вычисляются значения для t=0.005t = 0.005.







Заключение
В ходе работы были рассмотрены численные методы для решения дифференциальных уравнений, моделирующих физические процессы. Были рассмотрены три задачи:
Задача теплопроводности: метод конечных разностей.
Задача волн: метод конечных элементов.
Нелинейная задача: метод спектральных элементов.