Применение групп симметрии к решению дифференциального уравнения в частных производных

Введение

Приближенные симметрии, как отдельное направление в групповом анализе, появились в конце восьмидесятых годов двадцатого века в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова, Н.Х. Ибрагимова [2]. В этих работах рассматривались, в основном, точечные приближенные симметрий строились" приближенно-инвариантные-решения. Основная цель, поставленная в этих работах - нахождение приближенных решений уравнений в частных производных с малым параметром. Этим успешно занимались как в России, так и за рубежом. Работа эта продолжается до сих пор. Основные результаты принадлежат школе ф Ибрагимова Н.Х. и связаны с использованием понятия приближенных симметрии. Следует отметить, что имеется другой подход использования симметрии в задачах с малым параметром, разработанный в работах В.И. Фущича.
Применение канонических операторов Ли-Беклунда для получения редукции уравнений в частных производных встречается в работах Ж. Блумана. Оказывается, что множество уравнений (систем), обладающее интегрируемыми редукциями (часто называемое условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией. Развитием этого подхода занималась школа В.И. Фущича, в частности, Р.З. Жданов доказал теорему редукции для эволюционных уравнений, условно-инвариантных относительно оператора Ли-Беклунда[3].
Актуальность темы состоит в том, что с развитием теории условных симметрии Ли-Беклунда появляются новые возможности для нахождения решений как интегрируемых так и неинтегрируемых уравнений. Приближенные симметрии Ли-Беклунда используются для построения асимптотических решений уравнений с малым параметром.
 
1. Неклассические приближенные симметрии Ли-Беклунда
1.1. Группы преобразований Ли и классические симметрии

Изучение непрерывных групп преобразований началось более ста лет назад. То, что мы называем сейчас классическими точечными симметриями (лиевскими) было введено в рассмотрение Софусом Ли в 1890 году [7], .как непрерывные группы преобразований. Свое развитие они получили много лет спустя в работах Л.В. Овсянникова, который внес основной вклад в развитие группового анализа [1], [2]. Группы Ли определяются как локальные группы преобразований.
Определение 1.1. Однопараметрической группой преобразований Ли будем называть семейство преобразований,

T_a:x ̅^i=f^i (x^1,…,x^n,a)

точек x=(x^1,…,x^n )∈DR^n,a∈SRопределенных в окрестности нуля. Функции f^i считаются бесконечно дифференцируемыми по х в D, аналитичными по а в S. Они удовлетворяют следующим условиям:
1. Если а = 0, преобразование Та тождественное.
2. композиция преобразований семейства принадлежит указанному семейству, т. е. существует в окрестности нуля функция(a,b), где b — параметр, таких, что T_a T_b=T_(a,b) .
3. S с заданной операцией  образуют параметрическую группу.
Пусть

G(x,a)=x ̅ (1.1)

задает однопараметрическую группу Ли преобразований. С группой Ли обычно связывают инфинитезимальные преобразования.
Определение 1.2. Инфинитезимальным преобразованием группы Ли называется преобразование

x+a(x)

где

(x)=∂G/∂a (x,a)|a=0┤

Связь группы с инфинитезимальными преобразованиями выражает первая фундаментальная теорема Ли.
Теорема 1.1. Существует такая параметризацияτ(a), что действие группы преобразований (1.1) эквивалентно решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

(dx ̅)/dτ=(x ̅ ) (1.2)

с начальным условием x ̅=x, τ=0.
Инфинитезимальным генератором однопараметррической группы Ли (1.1) будем называть оператор

X=∑_(i=1)^n▒〖_i (x) ∂/(∂x_i )〗 (1.3)

Однопараметрическую группу преобразований (1.1) можно связать с ее генератором следующей теоремой:
Теорема 1.2. Однопараметрическая группа Ли преобразований (1.1) эквивалентна

x^*=(exp(aX))x=x+aX(x)+a^2/2 X^2 (x)+⋯=∑_(k=0)^∞▒〖a^k/k! X^k (x) 〗 (1.4)

где оператор X = Х(х) определен формулой (1.3),X^k=XX^(k-1),k=1,2….
В приложениях групповой теории к дифференциальным уравнениям обычно рассматриваются группы, действующие на зависимые и независимые переменные:

x^*=X(x,u,a), u^*=U(x,u,a) (1.5)

Соответственно инфинитезимальный генератор X для группы (1.5) будет иметь вид: