Задача с данными на характеристиках (задача Гурса): её особенности и применение

Введение

Одним из важных направлений в вычислительной математике является создание эффективных численных методов и алгоритмов решения уравнений в частных производных. В последние десятилетия это направление особенно бурно развивается в связи с необходимостью решения крупных научно-технических проблем и появлением быстродействующих электронно-вычислительных машин.
В настоящее время научные труды посвящаются вопросам построения приближенных решений и оценки погрешностей уравнений в частных производных второго порядка, в основном для уравнений вырождающегося гиперболического, гиперболического и смешанного типов. В многочисленных задачах, в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, в безмоментной теории оболочек и других приводятся уравнения с частными производными гиперболического и эллиптико-гиперболического типов.
Использование решения задач Гурса дает возможность найти приближенное решение в удобном виде, т.е. в виде линейных комбинаций базисных функций. Кроме того, если в рассматриваемых задачах уравнения нелинейные, то возникают принципиальные трудности.


 
Постановка задачи

Задача Гурса — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.
Пусть в области  задано гиперболическое уравнение u_xy=F(x,y,u_x,u_y ) и краевое условие.
Задача: найти регулярное в области  и непрерывное в замыкании  ̅ решение по краевому условию.
В ряде источников краевое условие формулируется следующим образом:

u(0,t)=φ(t), u(t,1)=(t), φ(1)= (0)

где φ и  - заданные непрерывно дифференцируемые функции.
Но существует и другая формулировка задачи:

u(x,0)=φ_1 (x), u(0,y)=φ_2 (y)

где φ_1 и φ_2 удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.
Нетрудно видеть, что это задача с данными на характеристиках уравнения. Эта задача примечательна тем, что для решения достаточно только двух функций.
Как известно, решение задачи Гурса определяется по его значениям на дугах двух различных характеристик, выходящих из делена и явно задана равенством x=y^2+δ Поэтому, также как и в линейном случае, на ней можно задавать значения решения. Другая характеристика зависит от искомого, и выбирается произвольно. Допустим, что на плоскости переменных x y, дана гладкая кривая γ, которая может пересекаться с характеристикой ξ -семейства не более одного раза и ее направление нигде не совпадает с ξ -характеристическим направлением. Другими словами, если эта кривая представима в явном виде уравнением

x=ω(y), a≤y≤c, ω(a)=δ+a^2 (1.1)

где ω∈С^2 [a,c] – заданная функция, тогда уравнение

ω(y)-y^2=k (1.2)

при произвольном значении относительно величины не может иметь более одного решения и, кроме k > 0 y того, всюду выполнено неравенство

ω ́(y)-2y≠0 (1.3)

Все эти предположения относительно функции ω не противоречат еще одному условию, что уравнение (1.2) при любой положительной правой части k∈[δ,ω(c)-c^2 ] имеет единственное решение:

y=W(k), W(δ)=a (1.4)

непрерывно дифференцируемое в замкнутом интервале. При этом, функции ω(y)-y^2 и W(k) должны быть взаимно обратными.
Рассмотрим другую функцию ∈C^2 [a,b] и потребуем от нее выполнения следующего условия:

(y)-y^2≠const (1.5)

Вместе со своей областью определения найти регулярное решение уравнения (1.5), если оно удовлетворяет условию

├ u┤|_(x=y^2+a)=(y), a≤y≤b (1.6)

а дуга у кривой γ, заданная соотношением (1.1) является характеристикой η -семейства.
Заметим, что если условия (1.3) и (3.5) не выполняются, тогда нарушается условие единственного решения. Нарушение каждого из этих условий влечет за собой параболическое вырождение на характеристических дугах.
Если выполнены условия (1.2), (1.3), (1.4) и функции ω(y)-y^2,(y)-y^2 однозначно обратимы: y=W(k),W(δ)=a и y=V(t),V[(a)-a^2 ]=a соответственно тогда задача (1.1), (1.6) имеет единственное регулярное решение, это решение представлено формулой

u=y^2+{y-W(x-y^2 )+a}-{y-W(x-y^2 )+a}^2 (1.7)

И определяется в замкнутом криволинейном четырехугольнике, ограниченном дугами характеристических кривых: x=y^2+δ, x=ω(y),x=y^2+ω(c)-c^2,x=y^2+ω(y+a-b)+(y+a-b)^2.
Действительно, решим задачу методом Даламбера: условия задачи и общее решение вместе дают следующие равенства: