метод нахождения корней уравнения третьей степени с положительным дискриминантом.

Введение

В различных случаях приходится решать уравнения ниже четвертой степени. В первую очередь это применимо в математике, например при работе с функциями.
В математике часто, особенно при исследовании функции, необходимо искать точки, в которых она или ее производные меняют знак. Для того, чтобы вручную решить уравнение третьей степени требуются огромные временные затраты и знание длинных и сложных формул. При этом еще приходится работать с ком-плексными числами или с такими функциями, как косинус, гиперболические си-нус и косинус, арккосинус. Все это требует обширных знаний в области математи-ки.
Спецификация задачи
Алгебраическое уравнение имеет вид:
(1)
где a, b, c, d – действительные коэффициенты, от которых зависят корни уравне-ния. Значит для нахождения решений уравнения необходимо знать только его ко-эффициенты. Следовательно a, b, c, d – входные данные. Они должны принадле-жать множеству действительных чисел. Также можно рассматривать задачу ре-шения кубического уравнения, как задачу нахождения точек, в которых график функции пересекает ось ОХ, т. е. меняет знак. Тогда данная функция определена на всей числовой оси ОХ.
Кубическое уравнение может иметь действительные и комплексные корни, по-этому удобнее и действительные и комплексные корни выводить в комплексном виде.

Обзор литературных источников и разработка математической модели

Решение уравнений третьей степени относится к особому разделу математики, посвященному решению уравнений n-й степени. Этот вопрос рассматривается во многих книгах по математике и численным методам.
Полные кубические уравнения

Полное кубическое (кубичное) уравнение вида

легко приводится к трёхчленному кубическому уравнению подстановкой .

Покажем это



,
,
. Положим , получим трёхчленное кубическое уравнение .

Пусть дано кубическое уравнение (1) с любыми комплексными коэффициентами.

Решение
Заменим в уравнении (1) переменную x новым неизвестным y: получим уравне-ние:



Положим получим трехчленное кубическое уравнение вида: (2).

Мы уже знаем, что последнее уравнение решается по формуле Кардано:

(1')

(2)
(3)
Кубические уравнения с действительными коэффициентами

Если коэффициенты неполного кубического уравнения (4) - действительные числа, то основную роль играет знак выражения , стоящего в формуле Кардано под знаком квадратного корня.
Знак этого выражения противоположен знаку выражения
,
которое называется дискриминантом неполного кубического уравнения. В даль-нейших рассуждениях используется и указывается знак именно этого дискрими-нанта.
1. Пусть D < 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком каждого из квадрат-ных корней стоит положительное число, а поэтому под знаком каждого из кубиче-ских корней оказываются действительные числа. Кубический корень из действи-тельного числа имеет одно действительное значение и два сопряженных ком-плексных корня. Пусть будет действительное значение корня ; тогда значение радикала , соответствующее на основании формулы , также будет действитель-ным ввиду действительности числа p.
Таким образом, корень уравнения (4) оказывается действительным. Два других корня мы найдем, заменяя в формулах (3) корни из единицы и из выражения (5):
(5)

,

.
Эти два корня оказываются ввиду действительности чисел и сопряженными комплексными числами, причём коэффициент при мнимой части отличен от нуля, так как , - эти числа являются значениями различных кубических корней.
Таким образом, если D < 0, то уравнение (4) имеет один действительный и два сопряжённых комплексных корня.
2) Пусть D = 0. В этом случае
.
Пусть будет действительное значение радикала ; тогда также будет, ввиду ра-венства , действительным числом, причем . Заменяя в формулах (3) через и используя очевидное равенство , мы получим:
.

Таким образом, если D = 0, тo все корни уравнения (4) действительны, причем два из них равны между собой..

3) Пусть, наконец, D > 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком квадратного корня стоит отрицательное действительное число, поэтому под знаками кубичных корней стоят сопряженные комплексные числа. Таким образом, все значения кор-ней и будут теперь комплексными числами. Среди корней уравнения (4) дол-жен, однако, содержаться хотя бы один действительный. Пусть это будет корень
.

Так как действительны и сумма чисел и , и их произведение, равное , то числа и сопряжены между собой как корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Но тогда сопряжены между собой и числа и , а также числа и , откуда следует, что корни уравнения (4)
,
также будут действительными числами.
Мы получили, что все три корня уравнения (4) действительны, причем легко пока-зать, что среди них нет равных. В самом деле, в противном случае выбор корня х1 можно было бы осуществить так, чтобы имело место равенство x2 = x3 откуда
,
т. е. , что явно невозможно.
Библиография