Гармонические колебания в линейных электрических цепях

Введение

Курсовая работа по дисциплине «Основы теории цепей» ставит целью систематизации, закрепления и углубления теоретических знаний, а также приобретения практических навыков аналитического расчета и экспериментального измерения основных характеристик электрических цепей.
Курсовая работа состоит в расчете частотных характеристик электрической цепи. В дополнение к аналитическим методам расчета в курсовой работе проводится экспериментальное измерение (компьютерное моделирование) частотных характеристик электрической цепи с помощью измерительных приборов входящих в состав виртуальной измерительной лаборатории Electronics Workbench (EWB).


















1. Расчёт токов и напряжений в цепи при заданном гармоническом воздействии
Имеется пассивная линейная электрическая цепь, образованная соединением конденсаторов, емкостью 1 нФ и резисторов, сопротивлением 7,5 кОм (Рисунок 1).

Рисунок 1 – Схема пассивной линейной электрической цепи.
Полагаем, что ко входу заданной цепи подключен реальный источник напряжения с внутренним сопротивлением Re = 1 кОм и ЭДС e(t) = Emcos(ωt), амплитуда которого Em = 1B, а частота ω = 3105 рад/c.
Изобразим схему заданной цепи с подключённым ко входу реальным источником гармонического напряжения. Последовательно пронумеруем однотипные элементы цепи (кроме сопротивления Re). Обозначим токи во всех ветвях и напряжения на всех элементах, зададим их условно положительные направления (Рисунок 2).

Рисунок 2 – Схема цепи с пронумерованными и обозначенными элементами.
Перейдём к комплексной форме, заменив все элементы комплексными сопротивлениями, все токи и напряжения – их комплексными амплитудами (рисунок 3).

Рисунок 3 – Комплексная схема замещения цепи.
Вначале определим комплексное входное сопротивление цепи относительно точек ее подключения к источнику:
▁z э=▁z 1+▁z 2+(▁z 3(▁z 6+(▁z 4∙▁z 5)/(▁z 4+▁z 5)))/(▁z 3+(▁z 4∙▁z 5)/(▁z 4+▁z 5)+▁z 6);
С учётом приведенных в техническом задании исходных данных:
E ̇_m=1∙e^(j*0^° ) B,▁z_1=1 кОм,▁z_3=▁z_4=▁z_6=7,5 кОм,
▁z_2=▁z_5=1/jωC≈-j*3,33 кОм,,
получаем:
▁z э=1-j*3,33+(7,5∙(7,5+(7,5∙(-j*3,33))/(7,5-j*3,33)))/(7,5+(7,5∙(-j*3,33))/(7,5-j*3,33)+7,5)=6,451∙e^(-j37,27°) кОм.

Определим комплексную амплитуду тока источника I ̇_m1:
I ̇_m1=E ̇_m/▁z_э =(1∙e^(j*0^° ))/(6,451∙e^(-j37,27°)∙1000)=155∙e^(j37,27°) мкА.
Далее найдем комплексные амплитуды напряжений U ̇_m1,U ̇_m2 и U ̇_m3:
U ̇_m1=I ̇_m1∙▁z_1=155∙e^(j37,27°) мВ.
U ̇_m2=I ̇_m1∙▁z 2=46,5∙e^(j127,3°) мВ.
U ̇_m3=I ̇_m1∙(▁z 3(▁z 6+(▁z 4∙▁z 5)/(▁z 4+▁z 5)))/(▁z 3+(▁z 4∙▁z 5)/(▁z 4+▁z 5)+▁z 6)=417,22∙e^(-j7,9°) мВ.
Затем, зная комплексную амплитуду U ̇_m3, определим амплитуды I ̇_m2 и I ̇_m5:
I ̇_m2=U ̇_m3/▁z_3 =55,6∙e^(-j7,9°) мкА,
I ̇_m5=U ̇_m3/(▁z 6+(▁z 4∙▁z 5)/(▁z 4+▁z 5))=45,5∙e^(j9,723°) мкА.
Определим амплитуды напряжений U ̇_m4,U ̇_m5 и U ̇_m6::
U ̇_m4=U ̇_m5=I ̇_m5∙(▁z 4∙▁z 5)/(▁z 4+▁z 5)=138,58∙e^(-j56,34°) мВ.
U ̇_m6=I ̇_m5∙▁z 6=341,5∙e^(j9,7°) мВ.
Затем, зная комплексные амплитуды U ̇_(m4 ) и U ̇_m5, определим амплитуды I ̇_m3 и I ̇_m4:
I ̇_m4=U ̇_m4/▁z_4 =18,4∙e^(-j56,33°) мкА,
I ̇_m3=U ̇_m5/▁z_5 =41,6∙e^(j33,66°) мкА.

Результаты расчёта гармонических токов и напряжений в цепи приведены в таблице:





Таблица 1-Результаты расчета.
Эле-мент Комплексная амплитуда
напряжения на элементе: тока через элемент:
Обозна-чение Ампли-туда, мВ
Началь-ная
фаза,° Обозна-чение Ампли-туда,
мкА Началь-ная
фаза,°
Re U ̇_m1 155 37,27 I ̇_m1 155 37,27
R1 U ̇_m3 417,22 -7,9 I ̇_m2 55,6 -7,9
R2 U ̇_m4 138,58 -56,34 I ̇_m4 18,4 -59,369
R3 U ̇_m6 341,5 9,7 I ̇_m5 45,5 9,7
C1 U ̇_m2 46,5 127,3 I ̇_m1 155 37,27
C2 U ̇_m5 138,58 -56,34 I ̇_m3 41,6 33,66


Фазовый сдвиг между напряжением и током резистивного элемента равен нулю, напряжение емкостного элемента отстаёт от тока на угол π/2 (90°).