ПРОГРАММНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ

Выполнение в пакете STATISTICA
Уровень доверия
Работаем в модуле Basic Statistics and Tables.
а) Генерируем k = 50 выборок по n = 10 наблюдений, нормально распределенных с параметрами: среднее а = 10, дисперсия 2 = 4.
Создадим таблицу с 50 строками (выборками) и 10 (объем выборки) столбцами:
File - New Data - File Name: Doverit (например)- ОК.
Создана таблица 10v  50c; добавим 40 строк после 10-й:
Кнопка Vars (или Edit - Cases) - Add - Number of Cases to Add: 40, insert after Case: 10 - OK.
Сгенерируем наблюдения:
Vars - All Specs - в появившейся таблице Variables Doverit.sta в 4-м столбце Long name выделим 1-ю клетку и запишем в ней
= Vnormal (Rnd (1); 10, 2)
и перенесем эту запись в строки со 2-й по 10-ю:
Edit - Copy (или кнопка Copy) (копирование в буфер),
затем выделим следующую клетку и
Edit - Paste (или кнопка Paste).
Закроем окно. Выполним назначения:
Edit - Variables - Recalculate...(или кнопка Х = ?).
б) Оценим средние:
Edit - Block Stats/Rows - Means.
Образован 11-й столбец MEAN. Присвоим ему имя xs:
выделим столбец MEAN - Vars - Current Specs...-Name: xs - OK.
в) Определим квантили fp порядков (1 + РД)/2 (0.95, 0.995, 0.9995) нормального N (0, 1) распределения:
Analisis-Probability Calculator - в окне устанавливаем Distribution Z (Normal), выделим Inverse, p: 0.95 - Compute; результат в поле Z: 1.645.
Аналогично определим fp для остальных вероятностей (2.57 и 3.29).
г) Определим по (5) столбцы а1 и а2 левых и правых концов доверительных интервалов.
Выделим заголовок столбца xs - Vars - Add - Number...: 2, after: xs - OK - выделим новый столбец - Vars - Current Specs - Name: A1 (левые концы), Long name:
= xs - 1,65  2 / Sgrt(10)
После ОК получаем столбец левых концов. Аналогично получаем столбец а2 правых концов.
д) Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически:
выделим столбец а1 и а2 - Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - OK (соглашаемся с предложениями).
Видим график (рис.1), по которому определяем число экспериментов (6 из k = 50), в которых интервал не содержит истинного значения параметра. Можем определить координаты любой точки на рисунке, поставив на нее стрелку: координаты в верхнем левом углу. Распечатаем график.
е) Повторим пп. г) и д) для двух других значений доверительной вероятности.
Задание: Провести аналогично k = 50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии (рис.2 для РД = 0.9; 5 ошибок).


Рис. 1.

Рис .2.
Интервалы для среднего нормальной совокупности
Сгенерируем выборку (столбец) из 20 наблюдений над нормальной случайной величиной со средним а = 10 и дисперсией 2 = 4 и определим доверительные интервалы для а с уровнем доверия РД : 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.999. Выполняется командой
Analisis - Descriptive staistics - в поле Statistics выбрать Conf. Limits for means и указывать значение Alpha error: 80 (90, 95 т.д.).

1. Методы построения оценок
Метод моментов
Пусть x1, ..., xn - n независимых наблюдений над случайная величиной  с функцией распределения F (x/a), зависящей от параметра a  (a1, ..., aR), nR; значение параметра требуется оценить по наблюдениям.
Пусть mk = Mk - момент порядка k. Моменты являются функциями параметра a: mk= fk(a1, ..., aR). Пусть существуют первые R моментов m1, ..., mR. Если бы моменты были известны, можно было бы составить систему уравнений для определения параметров по моментам:
m1 = f1(a1,...,aR),
mR = fR(a1,...,aR );
пусть эта система разрешима относительно a:
a1 = g1(m1,...,mR), (1)
aR = gR(m1,...,mR ).
Когда решается задача оценивания, значения моментов неизвестны, однако, для моментов имеются несмещенные и состоятельные оценки
, k =1,...,R.
Подставив их в (1) вместо mk, получим некоторые оценки для aj:
(x1 ,... xn) = g1 ( 1 ,..., R ),
. . .
( x1 ,... xn) = gR ( 1 ,..., R ),
которые называют моментными оценками.
Несмещенностью они, вообще говоря, не обладают; обычно их исправляют. Справедливы следующие свойства.
1. Если функции gj (), j = 1 ,..., R, непрерывны, то оценки состоятельны.
2. Если функции gj() дифференцируемы, а распределение при любом a имеет 2R моментов, то оценки асимптотически нормальны:
 N (aj, .
Замечания.
1. В равенствах (1) вместо первых моментов можно взять любые R моментов так, чтобы система была разрешима.
2. Моментные оценки не всегда обладают хорошими характеристиками. Однако, часто они достаточно просты в вычислительном отношении.
Метод наибольшего правдоподобия
Определения. Пусть имеется некоторая совокупность x  (x1 ,..., xn) наблюдений. Рассмотрим вероятность (или плотность) p(x/a) получить это x при различных a  (a1 ,..., aR). В качестве оценки возьмем то значение а, для которого вероятность p(x/a) максимальна; такой способ оценивания называется методом наибольшего (максимального) правдоподобия.
Функция p(x/a), понимаемая как функция от а, называется функцией правдоподобия. Значение а, доставляющее максимум функции правдоподобия, называется оценкой наибольшего (максимального) правдоподобия:
p(x/a) = p (x/a). (2)
Заметим, что а есть функция наблюдений х: а = а (х). При обычных условиях регулярности максимум находится из системы уравнений