Экономическая оценка инвестиций

Так как риск представляет собой величину вероятностную, в качестве меры диверсифицируемого риска используются статистические показатели разброса случайной величины: дисперсия и стандартное отклонение. Они показывают, насколько и с какой вероятностью фактическая доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности (средней за период). Хотя для инвестора риск состоит только в том, что фактически доходность окажется ниже ожидаемой, эти показатели учитывают отклонения в обе стороны (+/ -). Следовательно, чем меньше дисперсия (стандартное отклонение), тем ниже риск.
Дисперсия доходности актива i рассчитывается следующим образом:

где ri – доходность актива в i-ом периоде;
E(ri) – ожидаемая доходность актива (средняя за период);
Таким образом, ожидаемые риски портфеля представляют собой сочетание дисперсий (стандартных отклонений) входящих в него активов.
Если доходность актива представлена выборкой данных за определенный период n (период наблюдения), рассчитывается величина выборочной дисперсии за представленный период на основе смещенных оценок:

Пример: Доходность актива за 3 года представлена в таблице. Определить риск актива, представленный показателем выборочной дисперсии доходности.
Годы 1 2 3
Доходность (%) 10 14 18
Решение:
1. E(ri) = (10+14+18)/3=14%
2. ϭ = ((10-14)2+(14-14)2+(18-14)2) / 3 = 10,67%
При использовании данных о вероятностном распределении доходности актива его риск, представленный дисперсией, рассчитывается по формуле:

Применение дисперсии для оценки риска финансовых операций не всегда удобно, т.к. размерность дисперсии равна квадрату единицы измерения случайной величины. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель выражен в тех же единицах, что и сама величина.
Для этого используется стандартное (среднеквадратическое) отклонение. Стандартное отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии.

 
2. Допустимый и эффективный портфель. Достижимое и эффективное множество

Допустимым портфелем (feasible portfolio) называется любой портфель, который (хотя бы в принципе) может построить инвестор из имеющихся в наличии активов. Набор допустимых портфелей называется допустимым множеством портфелей (feasible of set portfolios). Для данных двух активов допустимое множество портфелей изображается кривой (на плоскости риск/доходность), состоящей из пар значений доходности и риска, соответствующих различным комбинациям (весам) этих активов*.
Эффективный портфель— это портфель, имеющий максимальную доходность среди всех портфелей с заданным уровнем риска. Он называется также портфелем, эффективным по критериям доходность/риск (mean-variance efficient portfolio). Таким образом, для каждого уровня риска существует свой эффективный портфель. Набор всех таких портфелей называется эффективным множеством портфелей Марковица (Marcowitz efficiency set of portfolis).
Эффективный портфель по Марковицу — это допустимый портфель с наибольшей ожидаемой доходностью для заданного уровня риска. Набор всех эффективных портфелей называется эффективным множеством портфелей, или эффективной границей.
Известно, что из набора N ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Рассмотрим ситуацию, когда N равно трем. Инвестор может купить или только акции одной компании, или только акции другой компании, или некоторую комбинацию акций двух компаний. Например, он может вложить половину средств в одну, а половину в другую компанию, или 75% в одну, а 25% в другую, или же 33% и 67% соответственно. В конечном счете инвестор может вложить любой процент (от 0% до 100%) в первую компанию, а остаток во вторую. Даже без рассмотрения акций третьей компании, существует бесконечное число возможных портфелей для инвестирования.
Необходимо ли инвестору проводить оценку всех этих портфелей? К счастью, ответом на этот вопрос является «нет». Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве:
Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:
- Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска,
- Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.
- Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством, или эффективной границей.
Достижимое множество известно как множество возможностей, из которого может быть выделено эффективное множество. Достижимое множество представляет собой все портфели, которые могут быть сформированы из группы в N ценных бумаг. Это означает, что все возможные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг, лежат либо на границе, либо внутри достижимого множества. В общем случае, данное множество будет иметь форму типа зонта. В зависимости от используемых ценных бумаг, оно может быть больше смешено вправо или влево, вверх или вниз, кроме того, оно может быть шире или уже приведенного здесь множества.
Из множества эффективных портфелей инвестор будет выбирать оптимальный для себя. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными портфелями, поэтому мы их можем игнорировать.
 
3. Свойство разделения. Рыночный портфель. Эффективная граница при разных ставках по займам и вкладам

Теорема разделения - теорема, утверждающая, что стоимость инвестиции для каждого индивидуального инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет или отвергнет инвестиционный проект, руководствуясь правилом чистой текущей стоимости, независимо от индивидуальных предпочтений.
Теорема разделения Фишера предполагает, что существует ординалистская функция полезности. Эту теорему разделения сформулировали Хиллераас и Ундгейм и Мак-Дональд
По мере расширения разложения, учитывающего конфигурационное взаимодействие, искомые энергетические уровни достигаются монотонно сверху.
Объяснением теоремы разделения служит описанное в гл. Там было показано, что все портфели, расположенные на линейном эффективном множестве, включают в себя инвестирование в касательный портфель в сочетании с различным уровнем безрискового заимствования или кредитования. В САРМ каждый инвестор сталкивается с одним и тем же линейным эффективным множеством. Из этого следует, что доля рискованных ценных бумаг в портфеле каждого инвестора будет одной и той же. Основанием этого свойства является теорема разделения, которая утверждает, что доля рискованных активов в портфеле каждого инвестора не зависит от предпочтения инвестора относительно риска и доходности.
Иногда говорят, что неравенства выражают теорему разделения для корней векового уравнения. Неравенства могут быть использовлны для нахождения нижних и верхних границ корней векового уравнения