приближенное вычисление

Введение

Не все интегралы могут быть вычислены с помощью известной формулы Ньютона-Лейбница из математического анализа:
I = = F(b) – F(a),
где F(x) – называется первообразной функцией для .
Не для всех функций есть первообразные, которые выражаются в виде элементарных функций с использованием конечного числа арифметических операций и операции нахождения сложной функции. Например, интеграл не выражается в элементарных функциях.
На практике иногда не удается вычислить точно определенный интеграл
даже если первообразная функция F(x) известна, но она может оказаться очень сложной для вычислений. В этом случае применение формулы Ньютона – Лейбница чрезвычайно затруднительно. В этих случаях используются приближенные методы вычисления некоторого интеграла.
Задача численного интегрирования состоит в том, чтобы найти приближенное значение интеграла для непрерывной функции на отрезке . Суть численного интегрирования состоит в том, что подынтегральное выражение заменяется другой приближенной функцией, которая близка к заданной, но интеграл от нее легко вычисляется.
Эти методы позволяют вычислить определенный интеграл, если он существует, причем известны численные значения подынтегрального выражения. Формулы, используемые для численного интегрирования, называются квадратурными формулами:
,
где xi – произвольные точки на отрезке [a,b], которые называют узлами квадратурной формулы, Ai – числовые коэффициенты, которые называют весами для квадратурной формулы, – целое число.
Сложные вычислительные задачи, возникающие при изучении физических и технических задач, можно разделить на ряд элементарных, таких как вычисление интегралов, например, и др. Многие элементарные задачи просты и хорошо изучены. Для этих задач проанализированы методы численного решения.
Рассмотрим некоторые широко используемые примеры приближенного вычисления некоторых интегралов, квадратурных формул.















1. Метод прямоугольников

Формула для прямоугольников может быть получена из геометрической интерпретации интеграла.
Пусть функция является непрерывной на отрезке , .


Фигура, ограниченная кривой АВ функции , прямыми линиями и осью и координатной осью (Рис.1.1), называется криволинейной трапецией. Интегральная сумма и ее члены имеют простой геометрический смысл: произведение совпадает с площадью прямоугольника, основания которого и высота , а сумма соответствует площади заштрихованной ступенчатой фигуры. Очевидно, что эта область зависит от разбиения сегмента на частичные сегменты и точки выбора на них точек .
Чем меньше будет , тем площадь самой ступенчатой фигуры будет ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точное значение площади для криволинейной трапеции принимаем предел интегральной суммы при условии :
Заключение

В данной работы, получены следующие результаты: изучены точные и приближенные методы его вычисления; воспроизведена оценка погрешности приближенных методов; рассмотрены на примерах вычисления определенных интегралов точными и приближенными методами.
Каждый из изложенных в работе методов вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений.
Описанные в работе приближенные методы вычисления определенных интегралов, сопровождаемые примерами вычисления, что существенно упрощает и ускоряет процесс вычисления интегралов.

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади, соответствующей криволинейной трапеции.