Античные и исторические задачи оптимизации

ВВЕДЕНИЕ
В повседневной жизни достаточно часто человек сталкивается с необходимостью выбора наилучшего из возможных (иногда говорят — оптимального) решений. Подобные проблемы постоянно возникают и при решении задач экономики и техники. В описанных случаях в большинстве случаев, принять верное (оптимальное) решение помогает математика. Изучением математических задач на экстремум (то есть на максимум и минимум) занимаются ученые с древних времен и по настоящее время. Изначально к таким задачам (на поиск максимумов и минимумов) не было какого-либо единого подхода. Однако в 18 века, во время эпохи формирования математического анализа, были разработаны первые общие методы решения и исследования подобных задач.
Тренировки математического мышления лучше всего проводить используя конкретные, «частные задачи». Именно поэтому в современном мире по-прежнему актуальны уже решенные античные и исторические задачи оптимизации.
Целью данной работы является изучение и анализ выборочных античных и исторических задач оптимизации.
Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Изучить предложенную справочную литературу, выбрать несколько, наиболее интересных задач оптимизации.
2. Рассмотреть выбранные античные задачи оптимизации (история появления, формулировка, решение задачи и т.п.).
3. Рассмотреть выбранные исторические задачи оптимизации (история появления, формулировка, решение задачи и т.п.).
В работе применены литературный и описательный методы анализа, частично сравнительный метод анализа.
Методологическую базу составили труды учёных, посвященные изучению вопросам изучения античных и исторических задач оптимизации.
ГЛАВА 1. АНТИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
1.1. Задача Евклида
В первой научной монографии, вышедшей в IV веке до н. э. — в «Началах» Евклида, имеется лишь одна задача на максимум. В современной мире она формулируется следующим образом: «в данный треугольник ABC вписать параллелограмм АDЕF (ЕF || АВ, DЕ || АС) наибольшей площади (рис. 1)».

Рис. 1. Графическое представление задачи Евклида
Критерием оптимальности в данной задаче является достижение площадью параллелограмма максимального значения, а ограничения связаны с условиями параллельности сторон и размещения параллелограмма в пределах заданного треугольника. Таким образом, мы имеем задачу оптимизации следующего вида:

Рассмотрим одно из возможных геометрических решений этой задачи, которое восходит к решению Евклида. описанного в его труде. Нам предстоит доказать, что искомый параллелограмм характеризуется тем, что D, Е и F являются серединами соответствующих сторон (рис. 1).
Действительно, пусть АD´E´F´ — вписанный в ABC параллелограмм, отличный от ADEF. Точку пересечения прямых D´E´ и EF обозначим через G´, а точку пересечения прямых DE и E´F´ — через G. Покажем, что площадь параллелограмма AD´E´F´ меньше площади параллелограмма ADEF на величину площади параллелограмма EG´E´G. Для этого проведем в треугольнике ABC из точки B высоту, длину которой обозначим через H. Длину стороны AC обозначим через b, а длину высоты треугольника GE´E, проведенной из точки E´, — через H1.
Из подобия треугольников GEE´ и ABC (E´G || AB, GE || AC) получаем:

Из полученного соотношения следует, что площадь параллелограмма D´G´ED, высота которого H1, а длина стороны DE — b/2, равна площади параллелограмма EGF´F, ибо его высота равна H/2, а длина стороны F´F равна |GE|. Отсюда и следует, что площадь параллелограмма ADEF равна площади фигуры AD´G´EGF´, т. е. на величину площади параллелограмма GE´G´E больше, чем площадь AD´E´F´. Задача решена.

1.2. Задача Дидоны
Для того чтобы перейти к следующей задаче, рассмотрим ее предысторию. Дидона — финикийская царевна, ища себе убежище от брата, оказалась на побережье нынешнего Тунисского залива, где её пришлось вести переговоры о продаже земли с местным предводителем. В результате она договорилась на столько, сколько сможет «окружить бычьей шкурой». Дидона, изрезав шкуру на мелкие тесемки и связав их воедино, окружила значительную площадь земли, на которой была основала крепость и город Карфаген. Эта легенда (исторический момент) наводит на вопрос: какую площадь земли можно охватить при помощи бычьей шкуры, или как в современном мире звучит эта задача: «среди замкнутых плоских кривых, заданной длины, найти кривую, которая охватывает максимальную площадь». Эта задача названа в честь финикийской царицы —задача Дидоны (классическая изопериметрическая задача).
На придание точного смысла этой задаче ушло больше двух тысяч лет. В её решении мы не будем чрезмерно углубляться в это и подойдем к решению задачи «наивно», как смотрели на неё в античности (и как должна была на практике подойти к ней Дидона).
Решение. Отмотаем и отрежем от катушки кусочек нити, а затем свяжем его концами. Полученную связанную нить положим на лист бумаги — видим плоскую замкнутую кривую. Если вырезать кусок бумаги по контуру нити, то получится образ площади, которая охватывается этой кривой. На рис. 2 схематично показана суть вопроса рассматриваемой задачи: необходимо выяснить, как следует положить нить, чтобы она охватывала максимальную площадь. Вергилий, описывая поступки Дидоны, использовал глагол «circumdare» (окружать), в котором есть корень «circus» (круг), позволяющий думать, что рассматриваемую задачу оптимизации Дидона сама решила верно, потому что кривая, решающая данную классическую изопериметрическую задачу, — это окружность.

Рис. 2. Схематичное отображение задачи Дидоны
В современном мире имеется математически обоснованное решение данной задачи с применением вариационного исчисления, в рамках данной работы мы не будем углубляться в современные формулы, так как это не совсем соответствует нашим задачам.

1.3. Задача Архимеда
Решение одной изопифанной задачи оптимизации можно наблюдать в сочинении Архимеда «О шаре и цилиндре». Формулировка задачи: «найти шаровой сегмент, который вмещает максимальный объем среди всех сегментов, имеющих заданную площадь сферической поверхности».
Рассмотрим решение этой задачи исходя из идей Архимеда.
Архимед не имел возможности использовать алгебраический язык и алгебраически выкладки, как это делается в современном мире, — ведь до зарождения алгебры оставалось ещё восемнадцать веков. Язык Архимеда — язык геометрии. На прямой А´А (рис. 2) отложим, следуя Архимеду, отрезок