Детерминированные математические модели, примеры.

Введение

Математическая модель по сравнению с реальным физическим экспериментом обладает некоторыми преимуществами, связанными с тремя ее основными особенностями:
• экономией материальных ресурсов, требуемых для поста¬новки и проведения физического эксперимента;
• возможностью апробации системы в изменяющихся по воле
экспериментатора условиях;
• оценкой работоспособности систем с длительными технологическими циклами в существенно сжатые сроки.
Принципиально можно выделить несколько уровней моделирова¬ния в экономике и производстве в зависимости от величины иссле¬дуемого объекта:
1) микроуровень – рабочее место, бригада, цех, предприятие;
2) макроуровень – объединение предприятий, отрасль;
3) мегауровень – межотраслевые и региональные системы, охватывающие как отдельную страну, так и мировое хозяйство в целом.
Одна из проблем моделирования – задача обеспечения точно¬сти решения, получаемого с помощью модели. К сожалению, не всегда удается построить модель, которая бы удовлетворяла задан¬ной точности и была бы при этом достаточно простой. Сегодня еще часто при подгонке тех или иных моделей под реальный процесс применяют метод проб и ошибок . Построение моделей в этих слу¬чаях требует дополнительных, достаточно сложных натурных физи¬ческих экспериментов. Этот процесс в моделировании принято на¬зывать решением прямой задачи.
Современная теория моделирования дает специалистам воз¬можность повысить эффективность модели в обратной задаче, когда строятся приближенные модели процессов, а некоторые пара¬метры, входящие в математические выражения, принимаются с большими допущениями, в связи с чем их можно рассматривать как неизвестные для выбранных конкретных задач. В этом случае для определения неизвестных может быть использована косвенная информация: данные о решении уравнений, которые эксперимен¬тально получить значительно проще. Обратные задачи формулиру¬ются на начальной стадии моделирования совместными усилиями экономистов, инженеров и математиков, которые могут обеспечить нужную информацию об исследуемом объекте.
В отличие от задач прямого моделирования обратные задачи относятся к классу «некорректных» (в математическом смысле). В частности, обратные задачи неустойчивы относительно погрешно¬сти входных данных. Однако современное моделирование обладает средствами для их решения, что существенно расширяет возможно¬сти применения математического моделирования .
Так как реальный процесс или явление, как правило, сложная система взаимодействия внутренних и внешних частей и факторов, для их изучения абстрагируются от части взаимодействий и их при¬роды, выделяя те из них, которые в настоящий момент интересуют исследователя. В этом случае принято говорить о модели явления или процесса. В дальнейшем будем называть модель процесса, явле¬ния или объекта кратко — модель объекта (МО).
Объектом моделирования может быть либо реальная хозяйственная система, либо один или несколько процессов, протекающих в ней. Для построения модели необходимо не просто выбрать объект, но и дать его описание в виде системы, т.е. определить границы его взаимодействия с внешней средой, его структуру. Модели одного и того же объекта могут быть различными и отражать этот объект с разных сторон.
В зависимости от вида моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет сущест¬венно различный характер и происхождение. Она может быть раз¬делена на два вида:
• информация о прошлом развитии и современном состоянии исследуемого объекта;
• информация о его будущем состоянии и развитии, включая данные об ожидаемых изменениях внутренних параметров и внеш¬них условий.
Целью работы является обзор методов математического моделирования, применяемых в маркетинге.
 
Математические методы

Общие понятия

Основным методом исследования систем является ме¬тод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и ис¬пользование моделей. При этом под моделью будем пони¬мать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т. е. описанный знаковыми средства-ми на каком-либо языке), отражающий существенные свой¬ства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изуче¬ния реального объекта не непосредственно, а через рассмот¬рение подобного ему и более доступного объекта, его модели. В дальнейшем мы будем говорить только об экономико-матема¬тическом моделировании, т. е. об описании знаковыми мате¬матическими средствами социально-экономических систем.
Чаще всего в экономических исследованиях применяются смешан¬ные модели, например логико-математические, логико-иконографи¬ческие и др.
Математические модели в маркетинге имеют целевое назначение (например, для исследования структуры, функционирования, расхода).
Модели структуры предназначены для изучения взаимоположе¬ния и связей элементов системы как внутри нее, так и с внешней средой. Такие модели могут быть представлены в виде сетевых мо¬делей, графиков, матриц и др.
Модели функционирования предназначены для изучения системы в динамике. Так, модели жизненного цикла изделий изучаются в марке¬тинге, модели операций применяются для решения конкретных эконо¬мических задач (модели анализа, прогнозирования, управления и др.).
При классификации моделей по исследуемым экономи¬ческим процессам и содержательной проблематике мож¬но выделить модели макроэкономические и микроэкономические.
Макроэкономические модели строятся на уровне национального хозяйства, а микроэкономические — на уровнях организаций, их объ-единений и отдельных регионов.
Различают модели дескриптивные и нормативные.
Дескриптивные модели отвечают на вопросы: «Как это происхо¬дит?» или «Как это вероятнее всего может дальше развиваться?», т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления отдельных факторов при изучении технологических процессов. Ха¬рактерным признаком таких моделей в большинстве случаев явля¬ется изменение параметров системы в функции от времени.
Нормативные модели отвечают на вопрос: «Как это должно быть?», т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типич¬ный пример нормативных моделей — модели оптимального плани¬рования, формализирующие тем или иным способом цели эконо¬мического развития, возможности и средства их достижения.
При изучении экономических процессов математические моде¬ли рассматриваются в тесной связи с целевыми системами и пред¬ставляют собой некоторые целостные структуры (назовем их эко¬номико-математическими моделями).
По характеру отражения причинно-следственных связей выделяют модели жестко детер¬министские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Различают неопределенности, описываемые вероятностными зако¬нами, и неопределенности, для описания которых вероятностные методы неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более" сложен для моделирования.