Нелинейные модели теплопереноса в телах с фиксированными границами

Введение
Проблемы нелинейных границ часто сталкиваются с проблемами теплопередачи, представляющими практический интерес. В задачах теплопроводности нелинейный анализ применяется даже чаще, чем в структурном анализе. Очевидно, что для инженера последние вопросы представляют основной интерес. Вычислительная сложность определения распределение напряжений и деформации намного больше, чем усилия, связанные с вычислением полей температуры в твердых веществах. Причина этого заключается в том, что руководящие уравнения распределения напряжений относятся к типу связанного вектора, тогда как дифференциальное уравнение теплопроводности является скалярным.
С другой стороны, математические модели теплопроводности часто более сложны, чем те, которые встречаются в структурном анализе. Проблемы теплопередачи практического значения обычно сформулируются как нелинейные проблемы граничной ценности. Это связано как минимум двух функций:
- Точное знание полей температуры важно только в случаях больших температурных различий, например, Свойства материала не могут рассматриваться как постоянные по всему телу. Небольшие температурные различия обычно не требуют вычислений теплопередачи, которые должны быть выполнены (организм может рассматриваться как изотермический).
- Предписанные граничные условия часто являются сложными и содержат нелинейные термины, возникающие в результате излучения, свободной конвекции или перемещения границ.
Эти особенности контрастируют со структурным анализом, где большая часть инженерных задач может рассматриваться как линейные с предписанными очень простыми граничными условиями (гомогенный дирихлет или тип Neuman).
 
1. Процесс теплопроводности
Существуют три механизма передачи тепла: теплопроводность, конвекция и излучение. В настоящем пособии мы сконцентрируем внимание на основном механизме переноса тепла – теплопроводности. Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравномерном распределении температур. В этом случае теплота передается за счет непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную температуру, что приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными электронами.
Теплопроводность зависит от агрегатного состояния вещества, его состава, чистоты, температуры, давления и других характеристик. Так, в большинстве случаев теплопроводность вещества в жидком состоянии примерно в 10 раз больше, чем теплопроводность в газообразном состоянии. Для твердого тела она значительно выше, чем для жидкости около точки плавления (за исключением жидких висмута, олова, теллура). На практике часто случается, что теплопроводность внутри тела и вблизи его границ различна. Это различие обусловлено как изменением условий протекания процессов теплопереноса, так и изменением структуры вещества (в результате термообработки, наклепа, старения и износа). Существенное влияние на теплопроводность могут оказывать внешние факторы, например облучение, изменение давления, магнитное поле. В полупрозрачных средах теплопроводность сопровождается радиационным теплопереносом.
Наблюдаемая эффективная теплопроводность таких сред есть сумма собственно теплопроводности и радиационного теплопереноса. Вклад радиационной составляющей комбинированного теплопереноса увеличивается с повышением температуры и становится существенным при температурах, составляющих несколько сотен градусов Цельсия. Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат

где ρ – плотность;
c – удельная теплоемкость;
λ – коэффициент теплопроводности;
Qw(x,y,z,t,T) – мощность внутренних источников тепловыделения.
Это уравнение (уравнение Фурье – Кирхгофа) устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела, Уравнение (1) описывает множество вариантов развития процесса кондуктивного теплопереноса (теплопроводности). Чтобы из бесчисленного количества этих вариантов выбрать один и дать его полное математическое описание, к соотношению (1) необходимо добавить условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия.
Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия определяют теплофизические характеристики тела λ, ρ, c. Временные (начальные) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени t=0 T=f(x,y,z) – в общем виде. При равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается: t = 0: T = T0 = const.