Введение
Метод Ньютона — это итерационный численный метод определения корней определённой нелинейной функции. Данный метод был впервые предложен английским математиком, астрономом и физиком И. Ньютоном. Нахождение решения реализовывается путем построения итерационных приближений и образован на элементарном итерационном принципе. Данный метод имеет квадратичную конвергентность. Классификация этого метода является хордовый и касательный метод.
Для систем нелинейных алгебраических уравнений итерационные методы решения этих систем особенно актуальны, потому что, в отличие от систем линейных уравнений, к ним неприменим никакой прямой метод решения. Прямое разрешение системы возможно только в некоторых случаях.
Глава 1. Метод Ньютона.
1.1 Геометрическая интерпретация.
Данный метод используется, когда уравнение f(x) = 0 имеет корень x [a; б] и реализовываются вытекающие условия:
1) Функция y=f(x) установлена и непрерывна по x(– ; + ).
2) f(a) f(b) <0 (функция приобретает значения различных знаков в конце отрезка [a; b]);
3) Производные f (x) и f (x) находятся на отрезке [a; b] (т. е. функция f(x) повышается или убывает на интервале [a; сохраняется).
4) f (x) 0 при x[a; b]
Существенная идея метода заключается: на отрезке [a; b] находится число x0, при котором f(x0) обладает тот же знак, что и f (x0), то есть исполняется условие f(x0)·f (x)>0. Следовательно, выбирается точка с абсциссой x0, в которой на отрезке [a; b] пересекает ось Ox касательная к кривой y=f(x). За точку x0 вначале нужно выбирать один из концов отрезка.
Пусть дана некоторая функция f(x) = 0 на отрезке [a, b]. Может быть 4 случая рис.1:
Рис.1
Разберём метод Ньютона в 1 случае.
Допустим, нам дана непрерывная возрастающая функция y = f(x) на интервале [a; b] с f (x) > 0 и f (x) > 0. Касательное уравнение принимает вид y-y0= f (x0) (x-x0). В качестве точки x0 выбираем точку B (b; f(b)). Проведите касательную к функции y = f(x) в точке B и обозначьте пересечение касательной с осью Ox точкой x1. Затем через функцию y = f(x) и точку x1 найти пересечение с проведенным им перпендикуляром к оси Ox и получить точку b1. Снова проведем касательную к функции y = f(x) в точке b1 и отметим пересечение касательной с осью Ox точкой x2. Затем найдите пересечение функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x2, чтобы получить точку b2.
Первое приближение корня определяется по формуле:
Второе приближение корней определяется выражением
Следовательно, i-е приближение корня определяется выражением
Вычисления выполняются до тех пор, пока не совпадет необходимое для ответа количество знаков после запятой или не будет достигнута заданная точность | xi-xi-1| < .
1.2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона.
- Определяя интервал (если он не задан), которому относится корень уравнения. Один из способов сократить разрыв — разделить его пополам.
– нужно найти f (x) и f (x), причём f (x) 0 при x[a; b], f (x) и f (x) обязан сохранять знак на отрезке [a; b]
– нужно взять один из концов отрезка [a, b] за x0, истекая из того, что следует исполняться руководствующееся условие f(x0) ·f (x0)>0.
– нужно вычислить несколько раз , пока не совпадет нужное для ответа число знаков после запятой или не будет достигнута заданная точность - пока не будет исполнено неравенство | xi-xi-1| < .
1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона
Разберём использование метода Ньютона на примере.
1) Предоставлена функция f(x) = sin2x-lnx для 1,3
x f(x)
1,3 0,253037 -1,47129
1,5 -0,26135 -0,12104
Поскольку, при x = 1,5, то за x0, возьмем x = 1,5.
