Асимптотика решений уравнений второго порядка при вещественных Х

ВВЕДЕНИЕ

Большинство физических проблем, с которыми сегодня сталкиваются инженеры, физики и эксперты в области прикладной математики, обнаруживают множество важных особенностей, которые не позволяют им получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейность, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или в некоторых случаях неизвестных границах. Даже если точное решение какой-либо проблемы явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретации или численных расчетов. Примерами таких задач являются большие функции Бесселя и двоичные периодические функции для больших значений аргументов. Поэтому мы вынуждены прибегать к приближениям, численным решениям или комбинации этих 2-х методов, чтобы получить информацию о решении уравнения. Среди методов аппроксимации в первую очередь необходимо упомянуть метод асимптотических возмущений, который является предметом данного исследования. Согласно этим методам, решение представлено некоторым 1 членом асимптотического разложения, число которых обычно не превышает 2. Разложение может осуществляться по большим или малым параметрам, которые естественным образом встречаются в уравнении или вводятся искусственно для удобства. Такое расширение называется возмущением параметра. С другой стороны, разложение может быть выполнено по координатам больших или малых значений, и в этом случае они называются координатными возмущениями. Глава 1 содержит обозначения, определения и действия для асимптотического разложения. Примеры декомпозиции по параметрам и координатам и их существенные свойства описаны в пунктах. To формализовать концепцию пределов, оценки ошибок, определения символов порядка и другие спецификации представлены в разделе 1.3. Раздел 1.4 содержит определение асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда, а также Раздел 1.5 содержит сравнение между сходящимся рядом и асимптотическим рядом. Далее в разделе определяются равномерные и неоднородные асимптотические разложения. Краткое описание операции по асимптотическому разложению приведено в разделе. В главе 2 описывается, как изучать асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений в специальную форму, называемую L - диагональной. В некоторых случаях такого рода преобразование может быть выполнено путем элементарной линейной подстановки. Построение асимптотического разложения после преобразования решения линейного дифференциального уравнения в L-диагональную форму очень просто. Полезно сделать несколько общих замечаний о характеристиках рассматриваемой функции. Все числовые функции и параметры, о важности которых не делается никаких особых оговорок, в общем случае следует считать сложными. Например, в начале главы 2 предполагается, что коэффициенты и искомые функции дифференциального уравнения являются комплексными значениями в общем случае, когда t является действительным (с полубесконечным интервалом, определенным для t). Определите абсолютную непрерывность этой функции в соответствующем замкнутом интервале, определив суммируемость производных функции в определенном интервале. Везде, где рассматривается система дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами, ее решение подразумевает набор абсолютно непрерывных функций, которые удовлетворяют уравнению практически в любом месте заданного интервала.

ГЛАВА 1 – ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Уравнение вида:
F(x,y,z,∂z/∂x,∂z/∂y,(∂^2 z)/(∂x_^2 ),(∂^2 z)/(∂y_^2 ),(∂^2 z)/∂x∂y)=0
Есть дифференциальное уравнение 2-го порядка с 2 переменными x и желаемой функцией z от y. Уравнения математической физики линейны, в отличие от уравнений с общей формой частных производных порядка 2, т.е. они линейно зависят от искомой функции и ее частных производных. Например, для 2 независимых переменных они имеют вид:
A(x,y) (∂^2 z)/(∂x^2 )+2B(x,y) (∂^2 z)/∂x∂y+C(x,y) (∂^2 z)/(∂y^2 )+D(x,y) ∂z/∂x+E(x,y) ∂z/∂y+G(x,y)z=F(x,y)
Уравнение называется однородным, если F(x,y)≡0, если F(x,y)≠0, то уравнение называется неоднородным.
Обозначаем левую часть уравнения через L(z), тогда можно записать в виде:
L(z)=F(x,y).
Соответствующее однородное уравнение примет вид:
L(z)=0.
L(z) - линейный дифференциальный оператор. Самостоятельно проверить свойства линейности оператора L(z).
Следующее утверждение непосредственно следует свойству линейности оператора L(z):
Теорема 1.1. Если Z (x,y) является решением линейного однородного уравнения, то функция Cz (x,y) также является решением уравнения, а C - любая постоянная.
Теорема 1.2. Если Z_1 (x,y) и z_2 (x,y) являются решениями линейных однородных уравнений, то сумма z_1 (x,y) + z_2 (x,y) также является решением этого уравнения.
Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами k решений уравнения ∑_(i=1)^k▒C_i z_i (x,y) также является решением этого уравнения.
В отличие от обычных линейных однородных дифференциальных уравнений с конечным числом линейно независимых частных решений, линейная комбинация дает общее решение этого уравнения, но уравнение в частных производных может иметь бесконечный набор линейно независимых частных решений.
Например уравнение:
∂z/∂x=0
имеет общее решение z=ϕ(y), поэтому его решениями будут, например, функции 1,y,y^2,
Для линейного неоднородного:
L(z)=F - уравнения справедливы.
Теорема 1.3. Если z(x,y) - решение линейного неоднородного уравнения, а s(x,y) - решение соответствующего однородного уравнения, сумма z(x,y)+s(x,y) также является решением неоднородного уравнения.
Теорема 1.4. Если z_1 (x,y) - решение уравнения L(z)=F_1, а z_2 (x,y) - решения уравнения L(z)=F_2, то сумма z_1 (x,y) + z_2 (x,y) является решением уравнения L(z)=F_1+F_2.
Рассмотрим классификацию дифференциальных уравнений 2-го порядка с 2 независимыми переменными. Определение. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка в некоторой области Ω на плоскости хОу называется:
гиперболическим в Ω, если Δ=B^2-AC>0 в Ω;
эллиптическим в Ω , если Δ=B^2-AC<0 в Ω;
параболическим в Ω , если Δ=B^2-AC=0 в Ω.
Простейшим из гиперболических уравнений является волновое уравнение:
(∂^2 u)/(∂t^2 )=a^2 (∂^2 u)/(∂x^2 ).
Это обнаруживается в проблемах, связанных с процессом вибрации. Простейшим из уравнений эллиптического типа является уравнение Лапласа
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=0.
Интеграл этого уравнения достигается при изучении стационарных процессов.
Простейшим уравнением параболического типа является уравнение теплопроводности (уравнение Фурье):
∂u/∂t=a^2 (∂^2 u)/(∂x^2 ).