Дипломная работа по педагогике на тему Рабочая тетрадь Текстовые Задачи для подготовки к ОГЭ по математике

Текстовая задача является одним из наиболее важных дидактических инструментов в процессе обучения математике. Она представляет собой словесную модель некоторой реальной ситуации, требующей математического анализа и решения с применением математического аппарата.
В методической литературе существует несколько подходов к определению понятия «текстовая задача». По мнению Н.Г. Баженовой и И.Г. Одоевцевой, текстовая задача – это словесная модель ситуации, явления, события, процесса и т.п., в которой описаны количественные характеристики и взаимосвязи между объектами [4]. Текстовая задача отражает реальные процессы и ситуации, встречающиеся в практической деятельности человека.
Т.Е. Демидова и А.П. Тонких определяют текстовую задачу как описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения [9].
В.А. Далингер рассматривает текстовую задачу как словесную модель реальной ситуации, для разрешения которой необходимо построить математическую модель и использовать соответствующий математический аппарат [7]. Такое определение подчеркивает роль моделирования в решении текстовых задач.
Структура текстовой задачи включает в себя следующие компоненты:
1. Условие задачи – описание ситуации, в котором указываются объекты и известные величины, характеризующие эти объекты, а также отношения между ними.
2. Требование задачи – указание на неизвестную величину, которую необходимо найти, или на отношение, которое необходимо установить.
3. Данные величины – явно указанные в условии количественные характеристики объектов.
4. Искомые величины – количественные характеристики, которые требуется определить.
5. Зависимости между данными и искомыми величинами – математические отношения, которые связывают известные и неизвестные компоненты задачи.
В своей работе А.В. Белошистая отмечает: «Структурными элементами задачи являются условие и требование (вопрос). Условие задачи – это совокупность данных в ней величин и связей между ними. Требование задачи – это указание на то, что нужно найти» [5].
Процесс решения текстовой задачи является сложной многоступенчатой деятельностью, включающей несколько взаимосвязанных этапов. В методической литературе предлагаются различные подходы к выделению этапов решения текстовых задач.
По мнению В.А. Гусева, решение текстовой задачи включает следующие этапы [6]:
1. Анализ условия задачи:
- чтение условия задачи;
- выделение объектов задачи;
- выделение известных и неизвестных величин;
- установление зависимостей между величинами.
2. Поиск способа решения задачи:
- схематическая запись условия;
- выбор неизвестных (введение переменных);
- составление математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т.д.).
3. Осуществление решения задачи:
- решение составленной математической модели;
- получение ответа в общем виде.
4. Проверка и анализ полученного решения:
- проверка соответствия полученного результата условию задачи;
- исследование решения (анализ частных случаев, обобщения);
- поиск других способов решения.
Л.О. Денищева расширяет данную классификацию и предлагает следующие этапы [10]:
1. Восприятие и анализ содержания задачи:
- чтение задачи, выделение условия и вопроса;
- определение объектов задачи и их характеристик;
- выявление отношений между объектами.
2. Поиск и составление плана решения:
- схематическая запись условия (краткая запись, таблица, схематический рисунок);
- выбор метода решения задачи;
- составление плана решения.
3. Реализация плана решения:
- построение математической модели (уравнение, система уравнений);
- преобразование математической модели;
- получение решения.
4. Проверка и исследование решения задачи:
- проверка правильности решения;
- исследование других способов решения;
- формулировка ответа.
5. Учебно-познавательный анализ задачи и ее решения:
- обобщение способа решения;
- установление связей с ранее решенными задачами;
- составление и решение аналогичных задач.
З.И. Исаева отмечает, что наиболее важным и сложным этапом в решении текстовой задачи является построение математической модели, которая отражает взаимосвязи между известными и неизвестными величинами [12].
В методике обучения математике выделяют следующие основные методы решения текстовых задач:
1. Арифметический метод – последовательное выполнение действий над числами для нахождения неизвестной величины.
2. Алгебраический метод – составление уравнения или системы уравнений, где неизвестные величины обозначаются переменными.
3. Геометрический метод – использование геометрических представлений и зависимостей для решения задачи.
4. Графический метод – применение графических зависимостей между величинами для решения задачи.
5. Метод предположений (метод проб и ошибок) – последовательное выдвижение и проверка гипотез о значении искомой величины.
6. Комбинированный метод – сочетание различных методов для решения одной задачи.
С.В. Дворянинов указывает, что выбор метода решения текстовой задачи зависит от ее содержания, сложности, возраста учащихся и целей обучения. В современной школе преобладает алгебраический метод решения текстовых задач, так как он является наиболее универсальным и позволяет решать широкий класс задач [8].
В школьном курсе алгебры и при подготовке к ОГЭ рассматриваются различные типы текстовых задач.
Основные из них:
1. Задачи на движение:
- движение в одном направлении;
- движение в противоположных направлениях;
- движение по замкнутой трассе;
- движение по воде (с учетом течения);
- движение с переменной скоростью.
2. Задачи на работу:
- совместная работа;
- задачи на производительность труда;
- задачи на заполнение и опустошение резервуаров.
3. Задачи на проценты:
- нахождение процентов от числа;
- нахождение числа по его процентам;
- задачи на смеси и сплавы;
- задачи на концентрацию растворов;
- задачи на процентное содержание вещества.
4. Задачи на числовые зависимости:
- задачи на пропорциональные величины;
- задачи на прогрессии;
- задачи на части.
5. Задачи экономического содержания:
- задачи на вклады и кредиты;
- задачи на изменение цены;
- задачи на распределение прибыли;
- задачи на себестоимость продукции.
Ю.Н. Кашицына и М.В. Васильева отмечают, что в контрольно-измерительных материалах ОГЭ по математике представлены различные типы текстовых задач, решение которых требует от учащихся умения анализировать ситуацию, строить математическую модель и находить решение с использованием соответствующего математического аппарата [13].
Текстовые задачи играют важную роль в математическом образовании, выполняя следующие функции:
1. Образовательная функция – текстовые задачи способствуют формированию и развитию математических знаний, умений и навыков.
2. Развивающая функция – решение текстовых задач развивает логическое мышление, аналитические способности, умение моделировать ситуации.
3. Воспитательная функция – в процессе решения текстовых задач формируются такие качества личности, как настойчивость, целеустремленность, критичность мышления.
4. Практическая функция – текстовые задачи демонстрируют практическое применение математических знаний, связь математики с реальной жизнью.
И.М. Шакирова и Ю.Н. Бурханова указывают, что текстовые задачи являются одним из эффективных средств формирования универсальных учебных действий учащихся, таких как анализ, синтез, обобщение, конкретизация, сравнение [20].
Текстовые задачи способствуют реализации прикладной направленности обучения математике, показывая связь между математическими абстракциями и реальными процессами и явлениями [3].
В процессе обучения решению текстовых задач учащиеся сталкиваются с различными трудностями:
1. Непонимание условия задачи и неумение выделить существенную информацию.
2. Затруднения в выборе метода решения задачи.
3. Сложности в построении математической модели задачи.
4. Недостаточное владение математическим аппаратом для решения составленной модели.
5. Отсутствие навыка проверки и исследования полученного решения.
Одной из основных причин затруднений учащихся при решении текстовых задач является недостаточное развитие умения анализировать текст задачи и строить адекватную математическую модель ситуации [15].
Для преодоления этих трудностей предлагаются различные методические подходы, в том числе использование наглядных моделей, схематических записей, алгоритмических предписаний, поэтапного формирования умений решать текстовые задачи.
Моделирование позволяет наглядно представить взаимосвязи между величинами, что облегчает построение математической модели задачи [17].
Таким образом, текстовая задача является важнейшим дидактическим инструментом в обучении математике, представляющим собой словесную модель реальной ситуации, требующую математического анализа и решения. Структура текстовой задачи включает условие, требование, данные и искомые величины, а также зависимости между ними.
Решение текстовой задачи представляет собой многоэтапный процесс, включающий анализ условия, поиск способа решения, реализацию плана решения, проверку и исследование полученного результата. Для решения текстовых задач применяются различные методы: арифметический, алгебраический, геометрический, графический и др.
В школьном курсе математики и в контрольно-измерительных материалах ОГЭ представлены различные типы текстовых задач: задачи на движение, работу, проценты, числовые зависимости, задачи экономического содержания и др. Текстовые задачи выполняют образовательную, развивающую, воспитательную и практическую функции в обучении математике.
Эффективное обучение решению текстовых задач требует учета типичных трудностей учащихся и применения соответствующих методических подходов, включая использование моделирования, схематических записей и алгоритмических предписаний.

1.2. Анализ школьных учебников по алгебре

Анализ школьных учебников по алгебре имеет важное значение для понимания методических подходов к обучению решению текстовых задач. В данном разделе рассмотрим особенности представления текстовых задач в различных учебниках алгебры для 8-9 классов.
В учебниках Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой для 8 класса в 2-х частях для изучения алгебры текстовые задачи встречаются преимущественно в главе 3 «Уравнения и системы уравнений» в параграфах 9 и 10.
В главе 3 изучаются новые виды уравнений с одной переменной, рассматривается формула корней квадратного уравнения, которая позволяет вычислять корни уравнения по его коэффициентам. Анализируются зависимости между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Детально рассматривается квадратный трёхчлен: изучается, каким образом квадратный трёхчлен можно разложить на множители. Решаются несложные дробные рациональные уравнения. Изучение данных тем в начале позволяет ученикам в дальнейшем решать более разнообразные текстовые задачи [12].
Структура представления текстовых задач в данном учебнике имеет следующие особенности:
1. Постепенное усложнение задач – от простых задач, решаемых с помощью линейных уравнений, к более сложным, требующим составления квадратных уравнений.
2. Тематическое разнообразие – в учебнике представлены задачи на движение, работу, проценты, геометрические задачи, задачи на смеси и сплавы.
3. Методическое сопровождение – для каждого типа задач приводятся образцы решения с подробным объяснением хода рассуждений.
4. Система упражнений – после теоретического материала предлагается система упражнений разного уровня сложности для закрепления умений и навыков.
И.В. Кочетова отмечает, что в учебнике Ю.Н. Макарычева и др. для 8 класса особое внимание уделяется алгебраическому методу решения текстовых задач, который основан на составлении уравнений или систем уравнений [14].
В главе 3 рассматриваются практически все виды текстовых задач, которые могут встретиться школьнику на ОГЭ (). К ним относятся:
1. Задачи на движение:
- задачи на движение в одном направлении;
- задачи на движение в противоположных направлениях;
- задачи на движение по кругу;
- задачи на движение по воде.
2. Задачи на работу:
- задачи на совместную работу;
- задачи на производительность труда;
- задачи на заполнение бассейнов.
3. Задачи на проценты:
- задачи на простые проценты;
- задачи на сложные проценты;
- задачи на концентрацию растворов.
4. Задачи на числовые зависимости:
- задачи на нахождение чисел по их сумме и разности;
- задачи на нахождение чисел по их сумме и отношению;
- задачи на пропорциональные величины.
Для каждого типа задач в учебнике приводятся образцы решения, которые сопровождаются подробными объяснениями. Например, при решении задач на движение обращается внимание на взаимосвязь между скоростью, временем и расстоянием, а также на особенности составления уравнений при различных видах движения.
Следует отметить, что в учебнике Ю.Н. Макарычева для 8 класса текстовые задачи рассматриваются преимущественно в контексте изучения уравнений и систем уравнений, что подчеркивает прикладной аспект данных тем.
В учебниках Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой для 9 класса в 2-х частях для изучения алгебры текстовые задачи встречаются в главе 4 «Уравнения и системы уравнений» (Рисунок 3).
В данной главе особое внимание уделяется системам уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени. Именно в этой главе рассматриваются задачи на смеси и сплавы. При этом количество текстовых задач по сравнению с 8 классом стало намного меньше.
Структура представления текстовых задач в учебнике для 9 класса имеет следующие особенности:
1. Углубление теоретического материала – рассматриваются более сложные уравнения и системы уравнений, которые могут быть использованы для решения текстовых задач.
2. Специализация текстовых задач – основное внимание уделяется задачам на смеси и сплавы, которые требуют составления систем уравнений.
3. Методическое сопровождение – приводятся образцы решения задач с подробным объяснением каждого шага.
4. Ориентация на подготовку к ОГЭ – предлагаются задачи, аналогичные тем, которые встречаются в контрольно-измерительных материалах.
Анализируя содержание учебника для 9 класса, можно отметить, что в нем представлены следующие типы текстовых задач:
1. Задачи на смеси и сплавы:
- задачи на смешивание растворов разной концентрации;
- задачи на сплавы металлов;
- задачи на изменение концентрации.
2. Задачи на системы уравнений:
- задачи, приводящие к системам уравнений второй степени;
- задачи с параметрами.
3. Задачи экономического содержания:
- задачи на вклады и кредиты;
- задачи на изменение цены;
- задачи на распределение прибыли.
4. Геометрические задачи:
- задачи на нахождение размеров геометрических фигур;
- задачи на нахождение площадей и объемов.
Л.С. Сагателова отмечает, что в учебнике Ю.Н. Макарычева для 9 класса текстовые задачи интегрированы в изучение алгебраического материала, что способствует формированию у учащихся умения применять математические знания в практических ситуациях [18].
Однако, как отмечается в анализе, количество текстовых задач в учебнике для 9 класса значительно меньше по сравнению с учебником для 8 класса, что может быть связано с тем, что основное внимание в 9 классе уделяется подготовке к ОГЭ, которая включает в себя не только решение текстовых задач, но и другие виды заданий.
В учебниках А. Г. Мерзляка, В. Б. Полонского, М. С. Якира для 9 класса для изучения алгебры текстовые задачи встречаются в главе 3 «Элементы прикладной математики».
В отличие от учебника Ю.Н. Макарычева, в учебнике А.Г. Мерзляка выделен специальный раздел для изучения текстовых задач. В этом разделе не только представлены различные задачи, но и рассматриваются этапы построения математических моделей, осуществляется анализ полученного результата, исходя из содержания прикладной задачи.
Особенности представления текстовых задач в данном учебнике:
1. Системный подход – текстовые задачи рассматриваются как часть прикладной математики, с акцентом на построение математических моделей.
2. Методология решения – подробно рассматриваются этапы решения текстовых задач, от анализа условия до интерпретации результата.
3. Практическая направленность – задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что повышает мотивацию учащихся.
4. Разнообразие задач – представлены задачи различных типов и уровней сложности.
Пример задачи из учебника А.Г. Мерзляка демонстрирует подход авторов к представлению текстовых задач. Задача сопровождается подробным решением, которое включает:
- анализ условия задачи;
- введение переменных;
- составление уравнения или системы уравнений;
- решение полученной математической модели;
- интерпретацию результата в контексте задачи;
- проверку решения.
И.Е. Малова отмечает, что учебник А.Г. Мерзляка для 9 класса реализует технологию обучения решению текстовых задач через моделирование, что способствует формированию у учащихся умения анализировать ситуации и строить адекватные математические модели [16].
В учебнике А.Г. Мерзляка представлены следующие типы текстовых задач:
1. Задачи на движение:
- задачи на равномерное движение;
- задачи на движение с переменной скоростью;
- задачи на движение по воде;
- задачи на встречное движение и движение в одном направлении.
2. Задачи на работу:
- задачи на совместную работу;
- задачи на производительность труда;
- задачи на заполнение и опустошение резервуаров.
3. Задачи на проценты и смеси:
- задачи на простые и сложные проценты;
- задачи на смеси и сплавы;
- задачи на концентрацию растворов.
4. Задачи экономического содержания:
- задачи на вклады и кредиты;
- задачи на цены и стоимость;
- задачи на распределение ресурсов.
5. Задачи практического содержания:
- задачи на оптимизацию;
- задачи на принятие решений;
- задачи, связанные с повседневной жизнью.
Особенностью учебника А.Г. Мерзляка является то, что в нем не только рассматриваются различные типы задач, но и уделяется внимание методологии их решения, способствуя формированию у учащихся общего подхода к решению текстовых задач, который может быть применен в различных ситуациях.
В учебниках А. Г. Мордковича, П. В. Семенова, Л. А. Александровой, Е. Л. Мардахаевой для 9 класса для изучения алгебры текстовые задачи встречаются в главе 1 «Системы уравнений».
В этом учебнике, в отличие от учебника А. Г. Мерзляка, В. Б. Полонского, М. С. Якира, изначально изучаются виды уравнений с двумя переменными, рассматриваются различные способы решения систем уравнений (метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных). И только после этого рассматриваются подробные этапы решения математических моделей.
Особенности представления текстовых задач в учебнике А.Г. Мордковича:
1. Алгебраический подход – текстовые задачи рассматриваются в контексте изучения систем уравнений, что обеспечивает прочную математическую основу для их решения.
2. Методическая последовательность – сначала изучаются методы решения систем уравнений, а затем эти методы применяются к решению текстовых задач.
3. Этапность обучения – подробно рассматриваются этапы построения математической модели и ее решения.
4. Практическая направленность – задачи имеют практическое содержание, что способствует пониманию связи математики с реальной жизнью.
Пример задачи из учебника А.Г. Мордковича демонстрирует подход авторов к представлению текстовых задач. Решение задачи включает следующие этапы:
- анализ условия задачи;
- введение переменных;
- составление системы уравнений;
- выбор метода решения системы;
- решение системы уравнений;
- интерпретация полученных результатов;
- проверка решения.
О.А. Дианова и В.В. Краснова отмечают, что в учебнике А.Г. Мордковича для 9 класса особое внимание уделяется формированию умения составлять математические модели текстовых задач, что является ключевым умением при решении задач [11].