Контрольная работа по теории вероятности на тему .В семизначном телефонном номере стерлись три последние цифры. Найти вероятность того, что стерлись: а)одинаковые цифры; б)разные цифры.

1.В семизначном телефонном номере стерлись три последние цифры. Найти вероятность того, что стерлись: а)одинаковые цифры; б)разные цифры.
Решение:
Для вычисления вероятности события А (стерлись одинаковые цифры) воспользуемся формулой
,
где n – общее число возможных элементарных исходов испытания;
m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A.
В нашем случае общее число возможных элементарных исходов n=10!/(10-3)!, то есть 720 элементарных исходов. Интересующему нас событию благоприятствует 10 элементарных исходов. Их можно перечислить: 000, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999.
Таким образом,
P(A)=10/720=0.014
Вероятность того, что стерлись разные цифры определим по теореме умножения вероятностей: Р(В)= 1/10∙1/9∙1/8=1.389∙10-3
Ответ: Р(А)=0.014; Р(В)=1.389∙10-3.
2.На устройство поступают два сигнала, причем поступление каждого сигнала, в течение часа равновозможно. Устройство сработает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 10 минут. Найти вероятность того, что устройство сработает.
Решение:
По условию, временной отрезок l =10 минут составляет часть временного отрезка 60 минут. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством
P=l/L=10/60=0.167
Ответ: Р=0.167.
3.В урне находится 40 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна 7/60. Сколько в урне белых шаров?
Решение:
Пусть n – количество белых шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, определим по теореме умножения вероятностей:
Р=(n(n-1))/(39∙40)=7/60
n(n-1)=182
n2-n-182=0
D=1+4∙182=729
n1 =(1-27)/2= - 13; n2 =(1+27)/2= 14
Ответ: 14 шаров.
4.Вероятность потери письма в почтовом отделении равна 0.03, а телеграммы – 0.01. Отправлено два письма и одна телеграмма. Какова вероятность того, что дойдет: а)только телеграмма; б)хотя бы одно из отправлений?
Решение:
Вероятность потери письма в почтовом отделении р1=0.03, а телеграммы р2=0.01. Поэтому вероятность доставки письма в почтовом отделении q1=0.97, а телеграммы q2=0.99.
Вероятность доставки только телеграммы определим по теореме умножения вероятностей: Р(А)= р12∙q2=0.032∙0.99=8.91∙10-4
Вероятность потери всех отправлений определим по теореме умножения вероятностей: Р(В)= р12∙р2=0.032∙0.01=9∙10-6
События «все отправления потеряны» и «доставлено хотя бы одно из отправлений» образуют полную группу событий. Сумма их вероятностей равна единице. Поэтому вероятность того, что доставлено хотя бы одно из отправлений, равна:
Р(С)= 1-9∙10-6=0.999
Ответ: Р(А)=8.91∙10-4; Р(С)=0.999.