Контрольная работа по теории вероятности на тему Анализ вероятностных свойств одномерных и двухмерных случайных величин средствами теории вероятностей и математической статистики

Введение
Задачи любойййнаукиййсостоятййвййвыявлении иййисследовании закономерностей, ййкоторым подчиняютсяййреальныеййпроцессы.
Теорияййвероятностей – математическаяййнаука, изучающая закономерности случайныхййявлений. ййЗнание закономерностей, которымййподчиняются массовые случайныеййсобытия, позволяет предвидеть, какййэти события будут протекать.
Методы теорииййвероятностейййшироко применяются вййразличных отраслях науки иййтехники: ййв теории надёжности, ййтеории массовогоййобслуживания, теоретическойййфизике, геодезии, астрономии, теорииййошибок, теорииййуправления, теорииййсвязи и во многихййдругих теоретическихййи прикладныхййнауках. Теория вероятностейййслужит для обоснования математическойййстатистики.
Математическаяййстатистика – раздел математики, ййизучающий методыййсбора, систематизации и обработкиййрезультатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Методыййматематической статистики используются приййпланировании организацииййпроизводства, анализе технологическихййпроцессов, для контроляййкачества продукции и многихййдругих целей.
Первыеййработы, в которых зарождалисьййосновные понятияййтеории вероятностей, появилисьййв XVI-XVII вв. Они принадлежали Д.Кардано, ййБ.Паскалю, П.Ферма, Х.Гюйгенс и др. и представляли попытки создания теории азартных игр сййцелью дать рекомендацииййигрокам. Следующийййэтап развития теорииййвероятностей связан с именем Я.Бернулли, ййкоторый доказалййтеорему, теоретическиййобосновавшую накопленные ранееййфакты и названную вййдальнейшем «закономййбольших чисел».
Дальнейшееййразвитие теории вероятностейййприходится на XVII-XIX вв. благодаряййработам А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона и др. Весьма плодотворныйййпериод развития «математикиййслучайного» связан сййименами русскихййматематиков П.Л.Чебышева, А.М.Ляпунова и А.А.Маркова.
Большойййвклад в последующееййразвитие теории вероятностейййи математическойййстатистикиййвнесли российскиеййматематики С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко и др., а такжеййучёные англо-американскойййшколы Стьюдент (псевдоним В.Госсета), Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман и др. Особоййследует отметить неоценимыйййвклад академика А.Н.Колмогорова вййстановлениеййтеорииййвероятностей какййматематической науки.
Широкомуййвнедрению статистических методовййисследования способствовало появлениеййво второй половине XX в. электронныхййвычислительных машин и, в частности, персональныхййкомпьютеров. Статистическиеййпрограммные пакетыййсделали эти методы болееййдоступными и наглядными, так как трудоёмкуюййработу по расчётуййстатистик, параметров, характеристик, построениюййтаблиц и графиков в основномййстал выполнять компьютер, а исследователюййосталась главнымййобразом творческаяййработа: постановкаййзадачи, выбор методовййрешения и интерпретацияййрезультатов.

Задача 1. Пассажир может уехать на любом из двух маршрутов автобусов. Закон времени ожидания прихода этих автобусов задается графиком плотности распределения вероятности случайной величины ξ:

a=0, b=12, d=5
Требуется найти:
1) определить закон распределения случайной величины (СВ) ξ в виде аналитических выражений от переменной x и параметров a, b, d; построить графики функции плотности и функции распределения вероятностей СВ ξ, определить основные числовые характеристики случайной величины ξ (10-15 характеристик различного вида) и указать их на построенных графиках распределения.
2) Вычислить вероятности безусловных A={ξ =(a+d)/2}, B={ξ <d}, D= {(a+d)/2< ξ < d} случайных событий и условного D ={(a+d)/2< ξ <(d+b)/2} случайного события.
3) Проверить правильность вычислений и на основании установленных фактов сформулировать выводы об основных вероятностных свойствах закона распределения вероятностей СВ ξ.
Решение:
Запишем уравнение линии, проходящей через точки (a;0) и (d;c):
(x-a)/(d-a)=(y-0)/(c-0); = > y=(c(x-a))/(d-a)
Запишем уравнение линии, проходящей через точки (b;0) и (d;c):
(x-b)/(d-b)=(y-0)/(c-0); = > y=(c(x-b))/(d-b)
Плотность распределения

Функция плотности распределения обладает свойством

В данном случае:

График плотности распределения:

Найдем функцию распределения F (x) :


Таким образом, искомая функция распределения:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет конкретное значение a, равно нулю: A={ξ =(a+d)/2}=0,
Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается по формуле: Р(a≤X≤b)=F(b)-F(a)
B={ξ <d} ={ξ <5}; Р(X<5)=F(5)=25/60=0.417
D= {(a+d)/2< ξ < d} = {2.5< ξ < 5}; Р(a≤X≤b)=F(5)-F(2.5)= 0.417-0.104=0.323
D ={(a+d)/2< ξ <(d+b)/2}={ 2.5< ξ <8.5}; Р(a≤X≤b)=F(8.5)-F(2.5)=0.865-0.104=0.761
График функции распределения:

Для определения математического ожидания используем формулу


Будем искать дисперсию по формуле


выводы об основных вероятностных свойствах закона распределения вероятностей СВ ξ:
●функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, то есть если xj > xi , то F(xj) ≥F(xi);
●F(-∞)=0;
●F(+∞)=1;
Ответ: c=1/6; M(X)= 5.667; D(X)=6.056.

Задача 2. Двумерная дискретная случайная величина (ДСВ) (ξ,η) задана таблицей распределения в виде вероятностной матрицы:
\ y1 y2 y3 y4
x1 0,07 0,1 0,07 0,1
x2 0,08 0,1 0,09 0,12
x3 0. 09 0,08 0,11 0,08

Требуется: 1) Определить частные законы распределения и основные (матем. ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение) числовые характеристики случайных величин ξ и η, совместную функцию распределения дискретной случайной величины (ξ,η) и вектора её характеристик центра распределения и рассеивания. 2) Найти условные законы распределения случайной величины η от значений реализаций СВ, значения условного математического ожиданий, условной дисперсии, условного среднеквадратичного отклонения. 3) Построить графическое изображение совместного закона распределения двухмерной СВ в виде диаграммы рассеивания и наложенными на неё линями условного математического ожиданий и условного среднеквадратичного отклонения СВ η| {ξ=xi}. 4) Определить ковариацию, корреляцию, генеральное корреляционное отношение, функцию линейной регрессии и