Контрольная работа по информатике и математике на тему Задачи по информатике

Задача 1
Концентрацию фенола в водоёме, заражённом промышленными стоками, можно считать нормально распределенной случайной величиной с генеральной дисперсией равной 0,04 (мг/л)2. Определить вероятность того, что отдельно взятое значение концентрации фенола находится в пределах от 0,2 до 0,8 мг/л.
Решение
Среднеквадратическое отклонение:

Вероятность попадания величины X в заданный интервал (α ; β).

где Ф(x) — функция Лапласа


Задача 2
При пятикратном измерении нижней границы области слышимости по частоте для одного человека получены значения: 20 Гц; 16 Гц; 21 Гц; 22 Гц; 21 Гц. Определить вероятность того, что истинное значение нижней границы области слышимости накрывается интервалом (17– 23) Гц.
Решение
X=(20+16+21+22+21)/5=20
S^2=(0+16+1+4+1)/5=4,4
Среднеквадратическое отклонение:

Вероятность попадания величины X в заданный интервал (α ; β).

где Ф(x) — функция Лапласа
Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-x) = -Ф(x), получим:


Задача 3
Определить вероятность различия в успеваемости 2-х групп студентов, если генеральные дисперсии неизвестны, но равны. Средний балл 1-ой группы 3,9, а 2-ой - 4,4. Выборочные дисперсии отдельных значений соответственно равны 0,21 и 0,17. В обеих группах по одиннадцать студентов.
Решение
Z=(4,4-3,9)/√(0,21/11+0,17/11)=2,69
, поэтому на уровне значимости 0,01 гипотезу отвергаем.

Задача 4
Определите вероятность, с которой значим коэффициент корреляции, рассчитанный по следующим выборочным данным : X ( 41, 40, 41, 40, 41, 42, 42, 40, 40, 41 ), Y ( 279, 275, 276, 278, 273, 282, 287, 267, 275, 277 ).
Решение
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:


Среднеквадратическое отклонение



Выдвигаем гипотезы:
H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит — нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:
tкрит(n-m-1;α/2) = tкрит(8;0.025) = 2.752
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).