Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:
z_x^'=〖(x^2+y^2-9xy+27)〗_x^'=2x-9y
z_y^'=〖(x^2+y^2-9xy+27)〗_y^'=2y-9x
{█(z_x^'=0@z_y^'=0)┤
{█(2x-9y=0@2y-9x=0)┤
{█(x=4,5y@2y-9∙4,5y=0)┤
{█(x=0@y=0)┤
Получили точку M_0 (0;0)∈D
Найдём значение функции в данной точке:
z(M_0 )=z(0;0)=0^2+0^2-9∙0∙0+27=27
Исследуем границу области
Если y=0,то z=x^2+0^2-9x∙0+27=x^2+27
z^'=2x=0⇒x=0∈[0;3]-точка M_0 уже исследована
Вычислим значение функции на другом конце отрезка в точке M_1 (3;0):
z(M_1 )=z(3;0)=3^2+0^2-9∙3∙0+27=36
Если y=3,то z=x^2+3^2-9x∙3+27=x^2-27x+36
z^'=2x-27=0⇒x=13,5∉[0;3]
Вычислим значения функции на концах отрезка в точка〖 M〗_2 (0;3) и M_3 (3;3):
z(M_2 )=z(0;3)=0^2+3^2-9∙0∙3+27=36
z(M_3 )=z(3;3)=3^2+3^2-9∙3∙3+27=-36
Если x=0,то z=0^2+y^2-9∙0∙y+27=y^2+27
z^'=2y=0⇒y=0∈[0;3]- точка M_0 уже исследована
Другой конец отрезка точка 〖 M〗_2 (0;3) уже исследована.
Если x=3,то z=3^2+y^2-9∙3∙y+27=y^2-27y+36
z^'=2y-27=0⇒y=13,5∉[0;3]
Концы отрезка M_1 (3;0) и M_3 (3;3) уже исследованы.
Наибольшее значение функции в замкнутой области D равно:
z(3;0)=z(0;3)=36;
Наименьшее значение функции в замкнутой области D равно:
z(3;3)=z(3;3)=-36.
Ответ: z(3;0)=z(0;3)=36; z(3;3)=z(3;3)=-36.
№ 2
№ 2.1
Решение
a) ∫▒〖sin(2x)dx=1/2 ∫▒〖sin(2x)d(2x)〗〗=-(cos(2x))/2+C;
Проверим результат дифференцированием:
〖(-(cos(2x))/2+C)〗^'=-(-sin(2x))/2 〖(2x)〗^'=(sin(2x))/2∙2=sin(2x)
б) ∫▒〖e^x √(1+e^x ) dx=〗 ∫▒〖(1+e^x )^(1/2) d(1+e^x )=(2(1+e^x )^(3/2))/3+C;〗
Проверим результат дифференцированием:
〖((2(1+e^x )^(3/2))/3+C)〗^'=〖(1+e^x)〗^(1/2) 〖(1+e^x)〗^'=e^x √(1+e^x );
в) ∫▒〖xe^3x dx=|■(■(Вычислим интеграл по частям@∫▒〖fdg=fg-∫▒gdf〗)@f=x;df=dx@dx=e^3x dx;g=e^3x/3)| 〗=
=(xe^3x)/3-∫▒〖e^3x/3 dx=(xe^3x)/3-〗 e^3x/9+C;
г) ∫_0^2▒〖√(1+4x) dx=1/4 ∫_0^2▒(1+4x)^(1/2) 〗 d(1+4x)=〖((1+4x)^(3/2)/6)|〗_0^2=
=(1+4∙2)^(3/2)/6-(1+4∙0)^(3/2)/6=9/2-1/6=13/3
- Курсовая работа
- Контрольная работа
- Реферат
- Отчет по практике
- Дипломная работа
- Эссе
- Статья
- Научно-исследовательская работа
- Доклад
- Глава диплома
- ВКР
- Ответы на билеты
- Магистерская работа
- Научная статья
- Лабораторная работа
- Рецензия
- Бизнес план
- ВАК
- Решение задач
- Аспирантский реферат
- Доработка заказа клиента
- Диаграммы, таблицы
- Перевод
- Презентация
- Тезисный план
- Дипломная работа MBA
- Монография
- Диссертация
- Компьютерный набор текста
- Чертёж
- Речь к диплому
