Контрольная работа по теоретической механике на тему Динамика механической системы

Представленная на рис.1 механическая система состоит из двух одно-родных стержней 1 и 2 длиной ???? и массой ???? каждый, вращающихся вокруг неподвижных осей и шарнирно соединённых между собой однородным стерж-нем 3 длиной ???? и массой ????1.

К середине стержня 3 шарнирно прикреплён уголок, состоящий из двух однородных жёстко соединённых между собой под прямым углом стержней 4 и 5 с погонной плотностью ???? и длиной ???? и ????2 соответственно.

Стержень 1 соединён с опорой, а уголок со стержнем 3 посредством сфе-рических пружин 6 и 7 соответственно, имеющих жёсткость ???? каждая.

Заданная механическая система находится в состоянии равновесия при углах ????=????10 и ????=????2.

Рис.1

Требуется:

1). при ????=????2=???????????????????? записать теорему о движении центра масс системы;

2). при ????=????10=???????????????????? получить дифференциальное уравнение движения уголка, используя теорему об изменении кинетического момента;

3). в соответствии с принципом Даламбера найти реакцию опорного шарнира стержня 2 как функцию φ и ψ;

4). рассматривая вместо уголка математический маятник, получить дифферен-циальное уравнение движения, если известно ????=????10+8·cos(2·????);

5). в соответствии с принципом Даламбера-Лагранжа получить уравнение дви-жения в условиях п.2;

6). получить уравнение Лагранжа 2-го рода в координатах φ и ψ;

7). найти положения равновесия системы и исследовать их на устойчивость.

Решение.

Пункт 1

Назначим систему координат и обозначим все внешние силы, действую-щие на механическую систему, как показано на рис.2. Силы упругости пружин 6 и 7 являются внутренними, поэтому на рисунке не показаны.

Чтобы составить уравнения в проекциях на координатные оси по тео-реме о движении центра масс, нужно определить координаты ???????? и ???????? центра масс в назначенной системе координат:

????????=∑????????·????????????????;

????????=∑????????·????????????????.

Здесь через ???????? обозначена суммарная масса механической системы:

????????=2·????+????1+3·????·????2.

Определим координаты каждого элемента в назначенной системе коор-динат:

????1=????2·????????????????; ????1=−????2·????????????????;

Рис.2

????2=????2·????????????????+????; ????2=−????2·????????????????;

????3=????·????????????????+????2; ????3=−????·????????????????;

????4=????·????????????????+????2−????2·????????????????; ????4=−????·????????????????−????2·????????????????;

????5=????·????????????????+????2+????4·????????????????; ????5=−????·????????????????−????4·????????????????.

При ????=????2=???????????????????? координаты центров масс стержней 4 и 5 будут:

????4=????·????????????????+????2−????2; ????4=−????·????????????????;

????5=????·????????????????+????2; ????5=−????·????????????????−????4.