Контрольная работа по теоретической механике на тему Равновесие рамы под действием плоской произвольной системы сил

1. Задача «Равновесие рамы под действием плоской произвольной системы сил»

Условие задачи:

Дано: P = 25 кН, M = 100 кНм, a = 0.5 м, F2 = 20 кН, α2 = 60◦, F4 = 40 кН, α4 = 15◦,

Определить: Реакции связей в точках A и B

Решение:

Рассмотрим равновесие тела AB. Согласно принципа освобождения тела от связей отбрасываем связи (неподвижный шарнир A и наклонный опорный стержень в точке B) и заменяем их действие реакциями, а именно, прикладываем к телу две составляющие реакции (горизонтальную силу XA и вертикальную YA) неподвижного шарнира и реакцию наклонного стержня RB, направленную по стержню. Прикладываем к рассматриваемому телу также заданные активные силы F2 и F4, момент M и силу T, передающуюся от натяжения троса под действием подвешенного груза P. Можно показать из последовательного рассмотрения равновесия груза, равновесия гибкой нити (аксиома двух сил, аксиома действия и противодействия), а также равновесия блока, что величина усилия T равна весу P груза (T = P = 25 кН).

Наклонные силы для удобства вычисления в дальнейшем их проекций на оси и моментов относительно выбранных полюсов можно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную (внимание: ниже вычислены не проекции на оси, а модули составляющих этих наклонных сил, показанных на рисунке): ????????????=????????????????????60°=0.5???????? ????????????=????????????????????60°=0.866???????? ????2????=????2????????????60°=20∙0.5=10 кН ????2????=????2????????????60°=20∙0.866=17.321 кН ????4????=????4????????????15°=40∙0.966=38.637 кН ????4????=????4????????????15°=40∙0.259=10.353 кН

Полученная система сил представляет собой плоскую произвольную систему сил, для которой можно составить 3 независимых уравнений равновесия (внимание: ниже в уравнениях участвуют модули составляющих наклонных сил, показанные на рисунке, так что при записи их проекций на оси и моментов в уравнениях надо корректно учитывать их направление в соответствии с принятыми направлениями составляющих наклонных сил и координатных осей, присваивая необходимые знаки для этих слагаемых): ∑=0; ????????+????4????−????−

или ????????+????4????−−0.5???????? ∑=0; −????????+????−

или −????????+????−0.866???????? −∙2????+∙5????

или −4∙2−∙−∙2????+∙5????+0.5????????∙3+0.866????????∙3=0 (3′)

Из (3′) : ????????=+4∙2+∙+∙2????−∙5????(0.5+0.866)3????=+10.353∙2∙+∙+∙2∙−17.321∙5????(0.5+0.866)3????=−53.904 кН

Из (1′) : ????????=−????4????++0.5????????=−38.637++100.5(−53.904)=23.315 кН