Контрольная работа по математике на тему высшая математика

№3051
∏_(n=2)^∞▒〖(1-1/n^2 )=1/2〗
Доказательство: докажем, что произведение сходится и имеет значение 1/2
lim┬(k→∞)⁡(1-1/k^2 )=1,
-необходимое условие сходимости бесконечного произведения выполняется
Тогда ∏_(n=2)^∞▒〖(1-1/n^2 )=(1-1/4)∙(1-1/9)∙…∙(1-1/n^2 )∙…〗
Подсчитаем n-е частичное произведение:
P_n=3/4∙8/9∙15/16∙24/25∙35/36∙48/49∙…∙(1-1/n^2 )=(n/2)/(n-1)∙((n-1)∙(n+1))/n^2 =(n+1)/2n.
lim┬(n→∞)⁡〖P_n=〗 lim┬(n→∞)⁡〖(n+1)/2n=〗 1/2.
Т.е.∏_(n=2)^∞▒〖(1-1/n^2 )=1/2,ч.т.д.〗
№3053
∏_(n=2)^∞▒〖[1-2/(n(n+1))]=1/3〗
Доказательство: докажем, что произведение сходится и имеет значение 1/3
lim┬(k→∞)⁡[1-2/(k(k+1))]=1,
-необходимое условие сходимости бесконечного произведения выполняется
Тогда ∏_(n=2)^∞▒〖[1-2/(n(n+1))]==∏_(n=2)^∞▒〖[(n^2+n-2)/(n(n+1))]=〗 ∏_(n=2)^∞▒〖[((n-1)(n+2))/(n(n+1))]=〗 1/2∙4/3∙2/3∙5/4∙3/4∙6/5∙…∙├ n-1┤/n∙((n+2))/(n+1)∙…〗
Подсчитаем n-е частичное произведение:
P_n=1/2∙4/3∙2/3∙5/4∙3/4∙6/5∙…∙├ n-1┤/n∙((n+2))/(n+1)=[1/2∙2/3∙3/4∙…∙├ n-1┤/n]∙[4/3∙5/4∙6/5∙…∙((n+2))/(n+1)]=1/n∙(n+2)/3.
lim┬(n→∞)⁡〖P_n=〗 lim┬(n→∞)⁡〖1/n∙(n+2)/3=〗 1/3.
Т.е. ∏_(n=2)^∞▒〖[1-2/(n(n+1))]=1/3〗 ,ч.т.д.
№3055
∏_(n=1)^∞▒〖cos⁡〖π/2^(n+1) 〗=2/π〗
Доказательство: докажем, что произведение сходится и имеет значение 2/π
lim┬(k→∞)⁡[cos⁡〖π/2^(k+1) 〗 ]=1,
-необходимое условие сходимости бесконечного произведения выполняется
Тогда ∏_(n=1)^∞▒〖cos⁡〖π/2^(n+1) 〗=〗 cos⁡〖π/4〗∙cos⁡〖π/8〗∙cos⁡〖π/16〗∙…∙cos⁡〖π/2^(n+1) 〗∙…
Подсчитаем n-е частичное произведение:
P_n=cos⁡〖π/4〗∙cos⁡〖π/8〗∙cos⁡〖π/16〗∙…∙cos⁡〖π/2^(n+1) 〗
Умножим обе части равенства на sin⁡〖π/2^(n+1)∶〗
P_n sin⁡〖π/2^(n+1) 〗=cos⁡〖π/4〗∙cos⁡〖π/8〗∙cos⁡〖π/16〗∙…∙cos⁡〖π/2^(n+1) sin⁡〖π/2^(n+1) 〗 〗
P_n sin⁡〖π/2^(n+1) 〗=〖1/2 cos〗⁡〖π/4〗∙cos⁡〖π/8〗∙cos⁡〖π/16〗∙…∙sin⁡〖π/2^n 〗
Применяя далее аналогично формулу синуса двойного угла:
P_n sin⁡〖π/2^(n+1) 〗=〖1/2^n sin〗⁡〖π/2〗
P_n sin⁡〖π/2^(n+1) 〗=1/2^n
P_n=(1/2^n )/sin⁡〖π/2^(n+1) 〗 ∙π/2∙2/π
P_n=(π/2^(n+1) )/sin⁡〖π/2^(n+1) 〗 ∙2/π
lim┬(n→∞)⁡〖P_n=〗 lim┬(n→∞)⁡〖(π/2^(n+1) )/sin⁡〖π/2^(n+1) 〗 ∙2/π=〗 1∙2/π
Т.е. ∏_(n=1)^∞▒〖cos⁡〖π/2^(n+1) 〗=2/π〗 ,ч.т.д.