Контрольная работа по численным методам на тему Численные методы

Задача 1.
Для дифференциальной задачи
, , , ,
на трехточечном шаблоне с переменными шагами сетки построить разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации.
Решение: Запишем разностную схему на трехточечном шаблоне с переменным шагом в виде

где , – шаги разностной сетки.
Разложим левую часть схемы в ряд Малорена по шагам , с удержанием членов разложения третьего порядка. Она будет иметь вид

Потребуем, чтобы коэффициенты при , были равны ную, потому что их нет в исходной задаче. Множитель при должен быть равен единице. Таким образом, получим систему уравнений относительно коэффициентов схемы:

Решение системы имеет следующий вид:
, ,
Итоговая разностная схема имеет вид

Подставляя полученное решение в разложение, будем иметь

Для множителя при третьей производной справедлива оценка

Из данного выражения видно, что полученная разностная схема обладает первым порядком аппроксимации.
Общей тенденцией в построении разностных схем является то, что при переходе к неравномерной сетке порядок локальной погрешности аппроксимации снижается. Показано, что при аппроксимации второй производной на обычном трехточечном шаблоне имеет место лишь первый порядок аппроксимации [1].
Точность аппроксимации наиболее просто можно достичь на основе использования расширенных шаблонов или на более узком классе функций (на решениях дифференциальной задачи). При этом одним из наиболее конструктивных подходов состоит в том, что аппроксимации исходного дифференциального уравнения может происходить не в узлах расчетной сетки, а в некоторых промежуточных точках расчетной области [1,2].
Составим схему с учетом возможности аппроксимации дифференциальной задачи на неравномерном трехточечном шаблоне с учетом промежуточных узлов.

где – некоторый параметр, который можно варьировать
Как и в предыдущем случае, разложим аппроксимацию в ряд Маклорена по параметрам , с удержанием членов разложения третьего порядка. Это разложение примет вид

Из полученного соотношения составим систему уравнений относительно коэффициентов при производных, требуя, чтобы они в точности соответствовали параметрам дифференциальной задачи

Решение полученной системы имеет вид

Для оценки порядка аппроксимации подставим решение системы разложение в разностную схему и переразложим ее в ряд Тейлора с удержанием членов четвертого порядка. Такой порядок разложения обусловлен тому, что по условию задачи . Будем иметь следующее соотношение