Контрольная работа по моделированию систем на тему Математическое моделирование химико технологических процессов

Задание 1.

Для заданных экспериментальных данных найти оценки коэффициентов линейного одномерного уравнения y = b0+b1x . Определить ошибку прогноза выходной переменной на основании остаточной суммы квадратов отклонений.

Решение:

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a
Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, a и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений.
a*n + b*∑x = ∑y
a*∑x + b*∑x2 = ∑y*x
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)


Для наших данных система уравнений имеет вид
21a + 210*b = 1356.2
210*a + 2870*b = 18911.9
Домножим уравнение (1) системы на (-10), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-210a -2100 b = -13562
210*a + 2870*b = 18911.9
Получаем:
770*b = 5349.9
Откуда b = 6.9479
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
21a + 210*b = 1356.2
21a + 210*6.9479 = 1356.2
21a = -102.864
a = -4.8983
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 6.9479, a = -4.8983
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 6.9479 x -4.8983
Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:


Коэффициент корреляции.
Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rxy < 0.3: слабая;
0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
0.5 < rxy < 0.7: заметная;
0.7 < rxy < 0.9: высокая;
0.9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y и фактором X весьма высокая и прямая.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:


Оценка уравнения регрессии

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 6.948 x -4.898
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент регрессии b = 6.948 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 6.948.
Коэффициент a = -4.898 формально показывает прогнозируемый уровень у,