Контрольная работа по коммуникативной и некоммуникативной алгебре на тему Отображения. Кольца и поля

Задача 1
Дано:
Множества: натуральных чисел (N), целых чисел (Z), рациональных чисел (Q) и действительных чисел (R).
Найти:
1. Множества N и Z изоморфны.
2. Множества Q и R не изоморфны.
3. Являются ли множества (N,+,x) и (Z,+, x) полями?
4. Являются ли множества (Q,+,x) и (R,+, x) полями?
Решение:
1.
Изоморфизм между двумя множествами A и B - это взаимно однозначное соответствие между их элементами. Изоморфизм сохраняет структуру (например, операцию сложения).
Натуральные числа N - множество чисел {1,2,3,4,… }, а целые числа Z включают в себя как положительные, так и отрицательные числа: {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,… }.
Множества N и Z не изоморфны, так как между ними нет взаимно однозначного соответствия, которое сохраняло бы операцию сложения. В Z есть отрицательные элементы и ноль, в N этого нет. Поэтому изоморфизма нет.
2.
Рациональные числа Q - это числа вида p/q, где p, q∈Z p, и q≠0.
R - множество действительных чисел, которое включает как рациональные, так и иррациональные числа (например, √2, π).
Изоморфизма между Q и R нет, потому что структура множества рациональных чисел значительно отличается от структуры множества действительных чисел. Хотя оба множества содержат бесконечно много элементов, они различны: между любыми двумя рациональными числами существует множество действительных чисел, которые не являются рациональными. Такое различие делает невозможным построение взаимно однозначного соответствия, которое бы сохраняло операции сложения и умножения.
3.
Поле, алгебраическая структура, в которой определены две операции (сложение и умножение), и для всех ненулевых элементов существует обратный по умножению элемент.
Множество (N,+,x) не является полем, так как для операции сложения в нём нет обратных элементов (например, нет натурального числа, обратного 2).
Множество (Z,+,x) также не является полем, так как, хотя сложение определено, но обратных по умножению элементов нет (обратные по умножению для 2, 3 и т. д. не принадлежат множеству целых чисел).
4.
Множество (Q,+,x) является полем, так как для любого ненулевого рационального числа существует обратное ему по умножению (например, обратное для 2/3 - это 3/2).
Множество (R,+, x) также является полем по аналогичной причине - для любого ненулевого числа существует обратное.