Контрольная работа по радиотехнике на тему Рассчитать нормы сигналов u(t) и v(t). Рассчитать скалярное произведение сигналов u(t) и v(t). Рассчитать нормированное скалярное произведение сигналов u(t) и v(t).

Контрольная работа
Практическое задание 1
1. Рассчитать нормы сигналов u(t) и v(t).
2. Рассчитать скалярное произведение сигналов u(t) и v(t).
3. Рассчитать нормированное скалярное произведение сигналов u(t) и v(t).
Решение
Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства s(t) однозначно сопоставлена его числовая норма ||s(t)||, и выполняются следующие аксиомы:
Норма неотрицательна (||s(t)|| ≥ 0) и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = , при s(t) = ).
Для любого числа b должно быть справедливо равенство ||bs(t)|| = |b|  ||s(t)||.
Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство треугольника ||v(t)+u(t)||  ||v(t)|| + ||u(t)||.
Для расчета норм сигналов u(t)u(t)u(t) и v(t)v(t)v(t) нужно знать их определения и свойства. Обычно под нормированием сигналов понимается приведение их к определенному масштабу, чтобы, например, их интеграл по времени равнялся единице или чтобы амплитуды сигналов находились в определенном диапазоне.
Нормировка по интегралу: Если необходимо нормировать сигнал по интегралу, то можно использовать формулу:
uнорм(t)=u(t)∫-∞∞u(τ)dτu_{\text{норм}}(t) = \frac{u(t)}{∫_{-∞}^{∞} u(τ) dτ}uнорм(t)=∫-∞∞u(τ)dτu(t) vнорм(t)=v(t)∫-∞∞v(τ)dτv_{\text{норм}}(t) = \frac{v(t)}{∫_{-∞}^{∞} v(τ) d\tau}vнорм(t)=∫-∞∞v(τ)dτv(t)
Нормировка по амплитуде: Если нужно нормировать сигнал по амплитуде, то можно воспользоваться максимальным значением:
uнорм(t)=u(t) max⁡ ∣u(t)∣u_{\text{норм}}(t) = \frac{u(t)}{\max |u(t)|}uнорм(t)=max∣u(t)∣u(t) vнорм(t)=v(t) max⁡ ∣v(t)∣v_{\text{норм}}(t) = \frac{v(t)}{\max |v(t)|}vнорм(t)=max∣v(t)∣vсть конкретные функции u(t)u(t)u(t) и v(t)v(t)v(t).

Определение последовательности импульсов
Предположим, что импульс длительностью t1t_1t1 равен U1U_1U1 и начинается в момент t=0t = 0t=0, а затем повторяется через период TTT:
u(t)=∑k=−∞∞U1⋅rect(t−kTt1)u(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} U_1 \cdot \text{rect}\left(\frac{t - kT}{t_1}\right)u(t)=k=−∞∑∞U1⋅rect(t1t−kT)
где rect(t)\text{rect}(t)rect(t) — это функция прямоугольного импульса.
Расчет CnC_nCn
Спектр CnC_nCn рассчитывается по формуле:
Cn=1T∫0Tu(t)e−j2πnTtdtC_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) e^{-j \frac{2\pi n}{T} t} dtCn=T1∫0Tu(t)e−jT2πntdt


















Практическое задание 3
Исследовать спектральный состав тока в нелинейном элементе при гармоническом и бигармоническом внешнем воздействии:
1. Записать аналитически и построить функцию аппроксимации вольт-амперной характеристики (ВАХ) нелинейного элемента с использованием степенной аппроксимации (табл. 1).
2. Записать аналитически внешнее воздействие u t вх в виде одиночного гармонического сигнала u t u t вх  1 (табл. 2).
Получить спектральную функцию  Uвх , рассчитать и построить соответствующие ей амплитудно-частотный и фазочастотный спектры.
3. Рассчитать и построить амплитуды и частоты всех гармонических составляющих коллекторного тока.
Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков. Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями, приходится прибегать к аппроксимации.
Методы аппроксимации, используемые в линейных цепях, могут быть использованы и для представления характеристик нелинейных цепей. Отличие будет состоять в выборе аналитических зависимостей, так как аппроксимации подлежат функции совершенно другого класса (в частности, ВАХ, а не АЧХ, ФЧХ и временные).
Степенная (полиномиальная ) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами
Давайте рассмотрим два периодических сигнала, u1(t)u_1(t)u1(t) и v1(t)v_1(t)v1(t), заданные с параметрами:
Первый сигнал u1(t)u_1(t)u1(t):
Амплитуда U1=12 мВU_1 = 12 \, \text{мВ}U1=12мВ
Период T1=6 μsT_1 = 6 \, \mu\text{s}T1=6μs
Второй сигнал v1(t)v_1(t)v1(t):
Амплитуда U2=24 мВU_2 = 24 \, \text{мВ}U2=24мВ
Период T2=12 μsT_2 = 12 \, \mu\text{s}T2=12μs
1. Запись функций сигналов
Сигналы можно записать как прямоугольные импульсы:
Для u1(t)u_1(t)u1(t):
u1(t)=U1⋅rect(tT1)={12 мВ,0≤t<T120,иначе u_1(t) = U_1 \cdot \text{rect}\left(\frac{t}{T_1}\right) = \begin{cases} 12 \,\text{мВ},& 0 \leq t < \frac{T_1}{2} \\ 0,& \text{иначе} \end{cases}u1(t)=U1⋅rect(T1t)={12мВ,0,0≤t<2T1иначе