Контрольная работа по математике на тему Система линейных алгебраических уравнений. Таблицы интегралов и основными методами интегрирования

1) Даны матрицы и число . Найти матрицу .


5). ,


Решение


Будем выполнять по действиям.


2) Дана система линейных алгебраических уравнений

Найти решение этой системы любым методом.

5).


Решение


Решим систему по формулам Крамера

Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:

1. Находим определитель ∆ исходной матрицы A.

2. В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель ∆i полученной матрицы.

3. xi находится делением ∆i на ∆: xi = ∆i / ∆.


Запишем систему в виде:

A=[−67−3−8−29−934]


Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Определитель матрицы A равен:

∆ =- 6 * (-2 * 4 - 9 * 3 ) - 7 * (-8 * 4 - 9 * ( -9)) - 3 * (-8 * 3 - ( -2) * ( -9) =-7 ≠0

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.


Найдем определитель полученной матрицы. ∆1 = - 3 * (-2 * 4 - 9 * 3) - 7 *(4 * 4 - 9 * 1) - 3 *(4 * 3 - ( -2) * 1)=14

????=∆1∆; ????=14−7=−2

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.


Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = - 6 * (4 * 4 - 9 * 1) + 3 * (-8 * 4 - 9 * ( -9)) - 3 *(-8 * 1 - 4 * ( -9))=21

????=∆2∆; ????=21−7=−3

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.


Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = - 6 * (-2 * 1 - 4 * 3 ) - 7 * ( -8 * 1 - 4 * ( -9))- 3 * ( -8 * 3 - ( -2) * ( -9)) =1

????=∆3∆; ????=14−7=−2

Выпишем отдельно найденные переменные неизвестные

Ответ: ????=−2; ????==−3; ????=−2


3)Известны координаты (см. таблицу 1) в прямоугольной системе коорди-нат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобра-зить треугольник в этой прямоугольной системе координат и найти:

3.1 координаты векторов , и их длины;

3.2 скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

3.3 векторное произведение векторов , и площадь треугольника ;

3.4 значение параметра , при котором векторы и будут колли-неарны;

3.5 координаты точки , делящей отрезок в отношении ;

3.6 каноническое уравнение стороны ;

3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, про-ходящей через точку параллельно прямой ;

Таблица 1


Номер варианта Координаты точек

5


Решение


1) Найдём координаты векторов , и их длины;


Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj

Длина вектора ????????⃗ равна: |????????⃗|=√62+32=√45=3√5

Длина вектора ????????⃗ равна: |????????⃗|=√22+92=√85

2) Найдём скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

Скалярное произведение векторов ????⃗ и ????⃗, найдём по формуле: