Анализ цепей постоянного тока.

Задача №1
Анализ цепей постоянного тока.

Рис.1.Расчётная схема цепи постоянного тока.
Таблица 1
№
вар. Е1
В Е2
В Е3
В Е4
В R01
Ом R02
Ом R03
Ом R04
Ом R5
Ом R6
Ом R7
Ом R8
Ом Разом
кнуты
24 100 90 80 2 3 3 8 10 12 В2, В5

Задание:
Начертить рабочую схему, исключив из общей схемы ветви, в которой выключатели разомкнуты.
Определить токи во всех ветвях, напряжения на зажимах источников.
Определить режимы работы источников и составить баланс мощностей.
Данную задачу решаем методом контурных токов. Суть метода в том, что составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа, для чего выбираем необходимое число контуров.
Для определения токов ветвей методом контурных токов необходимо составить систему уравнений, содержащую p – q +1= 6 - 4+1 = 3 уравнения по второму закону Кирхгофа, и решить эту систему относительно неизвестных контурных токов. Здесь – q = 4- число узлов в схеме, p = 6- число ветвей в схеме.
Выберем направление контурных токов в расчётной схеме рис.1 совпадающим с направлением (полярностью) источников эдс, включённых в эти контуры и произвольно - направление токов ветвей. Направление обхода выбранных контуров – по направлению соответствующих контурных токов.
Уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:
1-й контур:R7, R03, E3.
2-й контур:R6, R7, R8, R01, E1 .
3-й контур:R8, R04, E4.

Iк1*(R7 + R03) + Iк2*R7 = E3
Iк1*R7 + Iк2*(R6 + R7 + R8 + R01) - Iк3*R8 = E1 (1)
-Iк2*R8 + Iк3*(R8 + R04) = E4
Подставляем в (1) заданные числовые значения:
Iк1*13 – Iк2*10 = 90
Iк1*10 + Iк2*32 - Iк3*12 = 100 (2)
- Iк2*12 + Iк3*15 = 80
Решив систему уравнений (2) найдём значения контурных токов:
Ik1 = 1, 96653 A, Ik2 = 6, 44351 A, Ik3 = 10, 4881 A.
Из рис.1 находим токи ветвей:
I1 = Ik2 = 6, 44351 A; I3 = Ik1 = 1, 96653 A; I4 = Ik3 = 10, 4881 A;
I6 = Ik2 = 6, 44351 A; I7 = Ik1 + Ik2 =1, 96653 + 6, 44351 = 8, 41004 A;
I8 = Ik3 - Ik2 =10, 4881 - 6, 44351 A = 4, 04463 A.
Проверяем выполнение первого закона Кирхгофа для всех узлов схемы рис.1.
I1 + I3 – I7 = 6, 44351 + 1, 96653 - 8, 41004 = 0.
I7 - I3 – I6 = 8, 41004 - 1, 96653 - 6, 44351 = 0.
I4 – I1 – I8 = 10, 4881 - 6, 44351 - 4, 04463 = 0, 00004 ≈ 0.
С учётом незначительной погрешности, вызванной округлением промежуточных результатов вычислений, первый закон Кирхгофа выполняется для всех узлов схемы рис.1.
Определяем напряжения на зажимах источников:
UE1 = E1 – I1*R01 = 100 - 6, 44351*2 = 87, 113 B.
UE3 = E3– I3*R03 = 90 - 1, 96653 *3 = 84, 1004 B.
UE4 = E4 – I4*R04 = 80 - 6, 44351*3 = 48, 5356 B.
Направление токов во всех источниках совпадают с направлениями эдс источников, следовательно, они работают в режиме генератора.
Определяем мощности, отдаваемые источниками эдс:
PE = PE1 + PE3 + PE4 = E1*I1 + E3*I3 + E4*I4 = 100*6, 44351 +
+ 90*1, 96653 + 80*10, 4881 = 644, 351 + 176, 988 + 839, 048 =
= 1660, 387 Вт.
Определяем мощности, потребляемые резисторами:
PR = I_1^2*R01 + I_3^2*R03 + I_4^2*R04 + I_6^2*R6 + I_7^2*R7 + I_8^2*R8 =
= 6, 443512*2 + 1, 966532*3 + 10, 48812*3 + 6, 443512*8 + 8, 410042*10 +
+ 4, 044632*12 = 1660, 387.
PE = PR, значит баланс мощностей сходится, что подтверждает правильность расчётов.