Оптимизация надежности энергоснабжения

Оптимизация надежности энергоснабжения
В качестве показателя надежности сложных технических систем (систем энергоснабжения, электростанций, агрегатов энергоблоков) часто используют коэффициент готовности Кr:
Kr=τ_p/(τ_p+τ_ав )
где τр — время нахождения агрегата или системы в рабочем состоянии, включая время резерва; τав — время нахождения агрегата в аварийном состоянии.
Отказ агрегата или системы характеризуется показателем q:
q=τ_0/(τ_p+τ_ав )
Один агрегат может находиться либо в том, либо в другом состоянии. Для сложной энергосистемы, состоящей из m однотипных энергетических агрегатов с единичной мощностью N, вероятности всех возможных состояний системы могут быть найдены из разложения бинома Ньютона [9]:
(p+q)^m=p^m+c_m^1 p^(m-1) q+⋯+c_m^1 p^(m-1) q+q^m=1
где cj m pm–j qj = pjm — вероятность одновременного отказа j агрегатов. Число сочетаний из m элементов по j
c_m^1=m!/j!(m-j)!=(m(m-1)…(m-j+1))/(j(j-1)…1)
Первый член данного разложения бинома показывает вероятность рабочего состояния всех энергетических агрегатов рom, а последний — вероятность аварийного отказа всех агрегатов в энергосистеме — pmm.
∑_(j=1)^n▒〖p_jm=1〗
Для упрощения расчетов значения коэффициентов разложения бинома Ньютона cj m можно определять по треугольнику Паскаля, который строится следующим образом:

а) в вершине и по краям треугольника ставятся единицы;
б) во второй строке средний член равен 2;
в) начиная с третьей строки, каждый член между единицами получается, как сумма рядом стоящих элементов предыдущей строки.
Очевидно, коэффициенты третьей строки треугольника Паскаля 1, 3, 3, 1 совпадают с коэффициентами разложения бинома третьей степени:
(p+q)^3=1p^3+3p^2 q+3pq^2+1q^3
Элементы шестой строки треугольника Паскаля 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 совпадают с элементами разложения бинома шестой степени:
(p+q)^6=1p^6+6p^5 q+15p^4 q^2+20p^3 q^3+15p^2 q^4+6pq^5+1q^6
Выход из строя одного энергетического агрегата приводит к снижению мощности системы электроснабжения на N, а j агрегатов — на j×N. То есть надежность системы энергоснабжения может быть оценена как вероятность отсутствия дефицита мощности.
Если обозначить через р–jN вероятность снижения мощности энергосистемы, то ряд распределения вероятностей всех возможных состояний при выходе из строя агрегатов перепишется так:
(p+q)^m=p_0N+p_(-N)+⋯+p_(-jN)+⋯+p_mN=1
p_(-jN)=c_m^j∙p^(m-j)∙q^j
Следовательно, при отсутствии резервных энергетических мощностей и агрегатов в системе надежность энергоснабжения р будет равна вероятности безотказной работы всех агрегатов: рo = рoN = рm. Это можно записать как количество резервных агрегатов в системе r = 0.