Курсовая работа по математическому анализу на тему Несобственные интегралы

Введение
Понятие интеграл является одним из важных в математическом анализе.
Данное понятие появляется тогда, когда, например, необходимо найти площадь ограниченной кривой, массу какого-либо тела.
Также интеграл применяется при решении задач, которые касаются восстановления функции по ее производной
Интеграл выражается через элементарные функции, однако, существует большое количество функций, от которых это не может быть выполнено.
Для решения таких случаев применяются разнообразные методы, суть которых заключается в том, чтобы подынтегральную функцию заменить "близкой" к ней функцией, интеграл от которой можно выразить через элементарные функции.
При изучении понятия определенного интеграла предполагается, что промежуток интегрирования – сегмент, а подынтегральная функция ограничена на промежутке интегрирования.
Различные задачи в математике и её приложениях приводят к необходимости обобщить понятие определенного интеграла на случаи, когда либо промежуток интегрирования неограниченный, либо подынтегральная функция является неограниченной.
В каждом из этих случаев интеграл называется несобственным.
В зависимости от того, является ли неограниченной область интегрирования или подынтегральная функция, несобственные интегралы относят либо к первому, либо ко второму роду.
В типовых задачах исследования на сходимость интеграла от знакопостоянной функции предлагается, как правило, исследовать интеграл с двумя особыми точками на концах промежутка интегрирования в зависимости от параметра.
Ключевым методом решения таких задач является сведение к эталону с помощью признака замены на эквивалентную функцию. доказано, что при остальных значениях параметра расходится хотя бы один из интегралов-слагаемых, а значит, и исследуемый интеграл.
Несобственные интегралы.

Интеграл (от лат. integer — букв. целый) — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:
-о нахождении площади под кривой;
-пройденного пути при неравномерном движении;
-массы неоднородного тела, и тому подобных;
-а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл)
Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.
В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее.
Также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие.
Несобственными называются интегралы, у которых либо один из пределов интегрирования равен бесконечности, либо подынтегральная функция является неограниченной.
Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, +∞) и пусть f(x) интегрирована на любом отрезке [a; b] при любом b (b> a) – произвольные действительные числа.
Если существует предел lim┬(b→+∞)⁡∫_a^b▒f(x)dx то его называют несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку[a, +∞)и обозначают символом +∞.
∫_a^b▒f(x)dx также называется несобственным интегралом. Если предел( lim)┬(b→+∞)⁡∫_a^b▒f(x)dx существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Несобственные интегралы первого рода.

Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен, а подынтегральная функция ограничена на нем — в противном случае множество сумм Дарбу не будет ограниченным.
При решении задач встречаются случаи, когда одно или оба из этих условий не выполняются, т. е. когда промежуток интегрирования бесконечен или подынтегральная функция не ограничена. Такие интегралы называются несобственными.
Различают несобственные интегралы 1-го и 2-го рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечностью промежутка интегрирования или с неограниченностью подынтегральной функции.
Несобственным интегралом I рода от функции f(x) по промежутку [a;+∞) называется предел функции I(b) при b → + ∞ . Рисунок 1.