Курсовая работа по математическому анализу на тему Методы аппроксимации экспериментальных данных.

Введение
Многие отрасли наук в значительной степени опираются на накопление эмпирических и экспериментальных данных. Вследствие этого многие исследователи посвящают всю свою жизнь проведению экспериментов в различных областях, а непрерывное накопление экспериментальных данных используется для проверки теорий и установления эмпирических уравнений. Однако на практике неорганизованные, неструктурированные данные трудно применять, и они малоценны. Эффективная и регулярная организация, и обработка экспериментальных данных имеют решающее значение. Организация и обработка экспериментальных данных должны обеспечивать баланс между обоснованностью основополагающих принципов, точностью и удобством их использования. Экспериментальные данные, представленные в форме таблиц и графиков, являются менее информативными и наглядными в сравнении с аналитическим решениям. Аналогичные проблемы существуют для данных, полученных путем вычислений, но выполненных для ограниченного числа точек. Это может быть обусловлено сложностью и трудоемкостью вычислений, когда вычисление истинной функции слишком затратно с точки зрения времени или сложности, или когда эта функция неизвестна, и нужно лишь приблизительное представление о её основных свойствах.
Обычно в этом случае требуется только иметь возможность вычислить эту функцию в одной или нескольких точках и сформулировать предположение для всех остальных значений. Это оставляет выбор относительно локального или глобального характера аппроксимации и уровня точности, которого необходимо достичь. В различных приложениях, выбор метода часто зависит от эффективности и простоты вычислений.
Для преодоления этих недостатков и повышения информативности экспериментальных данных можно выделить несколько подходов к решению.

Объектом исследования является методы аппроксимации экспериментальных данных.
Предмет исследования: решение задач с помощью методов аппроксимации.
Целью данной работы является исследование основных методов аппроксимации экспериментальных данных.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнение следующих задач:
1. Изучение теоретических основ по теме «Аппроксимация экспериментальных данных»
2. Рассмотреть методы аппроксимации
3. Решения задач методами аппроксимации
Практическая значимость работы заключается в повышении точности расчетов так как они позволяют получать гладкую кривую, приближающую исходные точки измерений.
Данная работа состоит из введения, двух глав основной части, заключения, списка использованной литературы и источников.
Во введении раскрыты основные характеристики работы: актуальность, объект, предмет, цель, задачи, методы, практическая значимость исследования, структура работы.
В первой главе изложен теоретический материал по теме исследования, рассмотрены основные понятия и методы.
Во второй главе рассмотрены практические применения методов аппроксимации экспериментальных данных.
В заключении прописаны результаты и выводы по проделанной работе.



ГЛАВА 1. Теоретические основы методов аппроксимации экспериментальных данных
1.1 Задача аппроксимации

Аппроксимация понимается как замена и представление одних математических объектов другими, в том или ином отношении соответствующими исходным [1]. Она дает возможность исследовать количественные параметры или качественные свойства изучаемого объекта или явления, путем исследования замещающих, являющихся более простыми или удобными объектами.
Пусть, получен набор из n точек (xiyi), зафиксированных в результате эксперимента, и необходимо аппроксимировать (описать) эти данные некоторой функцией f(x). Если исходные данные были получены с высокой точностью и количество точек не очень большое, то можно потребовать аппроксимации данных функцией, которая проходит через все узловые точки.
На практике экспериментально полученные данные всегда обладают погрешностью, часто довольно значительной, зашумлены, тогда при аппроксимации можно провести кривую таким образом, чтобы ее отклонение от всех точек было минимальным, но при этом она не обязательно будет проходить через каждую точку (рис. 1.1). Такая аппроксимация сгладит погрешность первоначальных данных.
Условно аппроксимацию можно разделить на два вида (рисунок 1.2):
1) строгая теория математической аппроксимации;
2) физическая (техническая) аппроксимация.


Рисунок 1.1-Задача аппроксимации

Строгая теория математической аппроксимации включает в себя следующие методы аппроксимации [1]:
1) полиномами (многочленами);
2) сплайнами;
3) отрезками ряда Фурье;
4) полиномами по ортогональным многочленам;
5) собственными функциями краевых задач.
Так, для ряда важных классов периодических функций наилучшими системами являются тригонометрические полиномы.
Менее строгая аппроксимация — физическая (техническая) аппроксимация или математическая модель физического явления, процесса (физической модели), технического устройства (его характеристик), сигнала (его параметров), среды, материи и т. п.
Физическая (техническая) аппроксимация включает в себя множество способов аппроксимации и аппроксимирующих функций, выбираемых исходя из конкретно поставленной физической (технической) задачи.
Рисунок 1.2 - Классификация методов аппроксимации экспериментальных данных.
Метод наименьших квадратов представляет собой стандартный метод анализа для поиска приближенных решений линейных систем уравнений, то есть систем, в которых число уравнений превышает число неизвестных. Метод наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов остатков при решении каждого уравнения.
Наиболее важное применение метода — подгонка кривых. Оптимальное соответствие, подразумеваемое наименьшими квадратами, заключается в минимизации суммы квадратов остатков (разницы между наблюдаемыми значениями и подогнанными значениями, полученными с помощью модели). Когда задача содержит значительную неопределенность в независимых переменных (переменных x), использование методов простой регрессии и наименьших квадратов может быть проблематичным. В таких случаях модель подгонки по переменным-ошибкам требует иного подхода, чем метод наименьших квадратов.
Этот метод является кульминацией нескольких достижений XVIII века.
Комбинация различных наблюдений даёт наилучшую оценку истинного значения; многократные наблюдения уменьшают погрешность, а не увеличивают её – концепция, впервые продемонстрированная Роджером Коутсом в 1722 году.
Использование многократных наблюдений в идентичных условиях отличается от попыток записать единственное, наиболее точное наблюдение. Этот подход известен как метод усреднения. Тобиас Майер использовал этот метод в своём исследовании либрации Луны в 1750 году, а Пьер-Симон Лаплас – в своей работе 1788 года для объяснения различий в движении Юпитера и Сатурна.
Этот метод, известный как метод наименьшего абсолютного отклонения, впервые был использован в знаменитом труде Роджера Джозефа Бошковича 1757 года о форме Земли, а Лаплас обратился к той же проблеме в 1799 году.
Лаплас определил математическую форму плотности вероятности ошибок и определил методы оценки для их минимизации. Для этого Лаплас использовал двусторонне-симметричное экспоненциальное распределение, ныне известное как распределение Лапласа, в качестве модели распределения ошибок и принял сумму абсолютных отклонений в качестве оценочной ошибки. Он считал это своим простейшим предположением, ожидая, что среднее арифметическое будет наилучшей оценкой. Вместо этого он использовал апостериорную медиану.
Задачи наименьших квадратов делятся на две категории: линейные или обычные наименьшие квадраты и нелинейные наименьшие квадраты, в зависимости от того, являются ли остатки линейными по всем неизвестным. Линейные задачи наименьших квадратов возникают в статистическом регрессионном анализе и имеют решение в аналитической форме. Нелинейные задачи обычно решаются итеративным уточнением; на каждой итерации система аппроксимируется линейным методом, поэтому основные вычисления в обоих случаях одинаковы.
Многочлены, полученные методом наименьших квадратов, описывают дисперсионную зависимость между независимыми переменными и ожидаемой переменной отклика как функциями аппроксимируемой кривой. Если наблюдения принадлежат экспоненциальному семейству и выполняются мягкие условия, оценки наименьших квадратов и максимального правдоподобия идентичны. Метод наименьших квадратов развивался в области астрономии и геодезии, когда ученые и математики пытались решить проблемы морской навигации в эпоху Великих географических открытий. Точное описание поведения небесных тел имело решающее значение для кораблей, бороздящих бескрайние океанские просторы; моряки больше не могли полагаться на наземные ориентиры для навигации.
1.2 Задача интерполяции
В области численного анализа в математике интерполяция — это процесс или метод экстраполяции новых точек данных в пределах диапазона с использованием известных дискретных точек данных. При решении научных и инженерных задач множество точек данных обычно получают с помощью выборки, экспериментов и других методов. Эти точки данных могут представлять собой конечное число числовых функций, где независимыми переменными являются значения. На основе этих данных часто необходимо получить непрерывную функцию (т. е. кривую) или более плотно упакованное дискретное уравнение, которое соответствует известным данным. Этот процесс называется подгонкой.