Фрагмент для ознакомления
2
Функция в математике определяется двумя основными компонентами: областью определения и законом функциональной зависимости. Область определения — это множество всех чисел, для которых функция имеет смысл, то есть для которых существует соответствующее значение функции. Изменение области определения при сохранении закона функциональной зависимости меняет саму функцию, что важно учитывать при анализе и решении задач [27].
Монотонность функции описывает характер её изменения на определённых промежутках: функция может быть возрастающей, убывающей или не иметь определённого направления изменения. Если при движении аргумента слева направо значения функции не уменьшаются, функция называется неубывающей, а если не возрастают — невозрастающей. Строгая монотонность требует строгого возрастания или убывания без равенства значений на интервалах. Монотонность помогает переводить неравенства с образами функции в неравенства с аргументами, упрощая процесс решения уравнений и неравенств [35].
Исследование монотонности можно проводить тремя основными способами. Традиционный метод основан на сравнении значений функции в разных точках без использования производной. Второй способ применяет первую производную: знак производной указывает на возрастание (производная положительна) или убывание (производная отрицательна) функции. Третий, более современный подход, — метод обобщения, который вводит функцию обобщения для анализа монотонности на сложных участках графика. Эти методы позволяют качественно определять интервалы возрастания и убывания, что критично для последующего анализа сложных функций [35].
Ограниченность функции означает существование числовых границ, внутри которых изменяются значения функции. Функция называется ограниченной сверху, если существует число, больше которого значения функции не выходят, ограниченной снизу — если существует нижняя граница. Примером является функция sin(x^3 + 2x^2 + 1), которая ограничена значениями от –1 до 1, что используется в решении уравнения sin(x^3 + 2x^2 + 1) = x^2 + 2x + 2, помогая установить невозможность существования решений вне определённого интервала [36][21].
Непрерывность — ещё одно фундаментальное свойство функции, характеризующее отсутствие разрывов и скачков при изменении аргумента. Функция считается непрерывной в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен значению функции в точке. Для функций, обладающих кусочной непрерывностью, исследование проводится на каждом интервале непрерывности отдельно, что позволяет строить полную картину поведения функции на всей области определения. Непрерывность обеспечивает устойчивость функциональной зависимости и является необходимым условием для применения многих методов анализа и приближённых вычислений [21][35].
Рассмотрим конкретный пример: функция y = 2^x + 3^x + 4^x, заданная на всей числовой оси, является строго возрастающей и непрерывной. При x = 0 её значение равно 3. Благодаря монотонности при x > 0 функция больше 3, а при x < 0 – меньше 3. На этом основании решением неравенства 2^x + 3^x + 4^x < 3 является интервал (-∞, 0) [36]. Такое применение свойств монотонной функции существенно упрощает анализ без необходимости точного вычисления решений.
Алгоритм анализа функции начинается с определения области определения, затем выявляются интервалы монотонности, происходит проверка непрерывности, особенно для кусочно-непрерывных функций, и исследуется ограниченность. Предположим, что на некотором интервале функция строго возрастает. Тогда из неравенства f(x) > f(x_0) следует, что x > x_0. При этом область определения ограничивает возможные значения x, что упрощает поиск решения и переводит задачу на решение простых неравенств с аргументами [35].
Таким образом, понимание и изучение области определения, монотонности, ограниченности и непрерывности формирует фундамент для последующих этапов решения уравнений и неравенств. Это позволяет использовать свойства функции для упрощения аналитических процессов, переходя от анализа значений функции к анализу значений аргумента, что является основой многих методов исследования функций и решения математических задач [21][3].
Область допустимых значений для функции играет ключевую роль при решении уравнений и систем, так как она задаёт границы, в пределах которых переменная принимает осмысленные значения. При этом знание ОДЗ позволяет избежать ошибок, возникающих из-за рассмотрения недопустимых аргументов, например, таких, при которых знаменатель обращается в нуль или подкоренное выражение становится отрицательным. Важность точного определения ОДЗ проявляется уже на стадии постановки задачи, помогая сузить интервал поиска корней и исключить невозможные варианты решений.
На практике нахождение ОДЗ начинается с внимательного анализа всех составляющих функции. Часто функция включает в себя выражения с ограничениями: подкоренные выражения, логарифмы, дробные выражения и др. Для примера рассмотрим функцию, заданную как f(x) = √(x - 1) / (x^2 - 4). Задача определения ОДЗ сводится к решению системы неравенств: подкоренное выражение ≥ 0, то есть x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1, и знаменатель не равен нулю, то есть x^2 - 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2. Следовательно, ОДЗ данной функции — объединение интервалов [1,2) и (2,+∞). Такой подход детально фиксирует, где функция определена, и позволят направить дальнейший анализ именно на этот набор значений [4].
Для функций с несколькими переменными область допустимых значений представляет собой более сложное пространство, где действуют ограничения как равенств, так и неравенств. Для исследований в этом случае применяют методы векторного рангового анализа, суть которых состоит в представлении параметрического распределения в векторном ранговом пространстве, последующей аппроксимации и построении границ ОДЗ. Это позволяет выявить индивидуальные особенности объектов и упростить анализ ограничений в высокоразмерных пространствах, что часто встречается в задачах оптимизации и синтеза сложных систем [28].
Алгоритмические методы нахождения ОДЗ упрощают процесс анализа особенно при системах линейных неравенств и ограничений. Один из подходов включает пошаговый поиск крайних подсистем с приведением матриц к полной ранговой форме, что помогает выявить максимально расширенную область допустимых значений. Подобные методы применяются при анализе автоматизированных систем управления, где параметры задаются множеством ограничений, и каждое нарушение критично для устойчивости системы. Пошаговая оптимизация с функциями допустимости и штрафными функциями позволяет последовательно уточнять область допустимых параметров с учётом разнообразных критериев качества и ограничений [32][5].
Для решения конкретных уравнений важна проверка соответствия решений области допустимых значений. Например, при решении уравнения log(x - 2) = 3x необходимо сначала выделить область, где аргумент логарифма положителен, то есть x - 2 > 0 ⇒ x > 2. Это сужает множество поисков до полуинтервала (2, +∞), исключая все корни вне этого множества. Идентичная проверка действует и при решении уравнений с квадратными корнями, дробями и степенными функциями, что предотвращает нахождение недопустимых корней и уменьшает вычислительную нагрузку [24].
Технологически нахождение ОДЗ может сопровождаться преобразованием исходного уравнения таким образом, чтобы не изменять его область допустимых значений. Например, умножение на положительно определённую функцию позволяет упростить уравнение, не расширяя его ОДЗ. Такой приём удобен при анализе степенных или показательныъ функций, когда использование преобразований облегчает вычисления и оставляет область определения без изменений [24].
Знание области допустимых значений становится особенно важным, когда применяется анализ монотонности функции. Монотонность часто определяется и исследуется лишь в пределах ОДЗ, и при точном ограничении области возможных значений переменной упрощается выявление интервалов возрастания или убывания функции. Это позволяет сузить область поиска корней уравнений по свойству монотонности, уменьшить интервалы и повысить точность вычислений, а также избежать излишнего рассмотрения неподходящих значений [4]. В дальнейшем анализ связей между ОДЗ и монотонностью функциональных зависимостей оказывает существенное влияние на построение алгоритмов решения задач с использованием свойств функций.
Фрагмент для ознакомления
3
Список литературы
1. cyberleninka.ru/article/n/geometriya-smysla/viewer [Электронный ресурс] // cyberleninka.ru - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/geometriya-smysla/viewer, свободный. - Загл. с экрана
2. cyberleninka.ru/article/n/metod-usredneniya-i-modulyarnyh-mazhorant... [Электронный ресурс] // cyberleninka.ru - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-usredneniya-i-modulyarnyh-mazhorant-dlya-differentsialnogo-uravneniya-s-zapazdyvaniem/viewer, свободный. - Загл. с экрана
3. cyberleninka.ru/article/n/primenenie-svoystv-funktsii-v-reshenii... [Электронный ресурс] // cyberleninka.ru - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-svoystv-funktsii-v-reshenii-matematicheskih-zadach/viewer, свободный. - Загл. с экрана
4. Махкамов Мамаджон, Джаборов Мухаммадсафар Мухаммадраджабович, Норов Раджабали Саломович АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ // Вестник педагогического университета (Естественных наук). 2021. №2 (10). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/algoritm-nahozhdeniya-oblasti-znacheniy-funktsii-pri-reshenii-matematicheskih-zadach (24.04.2025).
5. Зоркальцев Валерий Иванович Ввод в область допустимых решений методом внутренних точек // Управление большими системами: сборник трудов. 2016. №59. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vvod-v-oblast-dopustimyh-resheniy-metodom-vnutrennih-tochek (19.01.2025).
6. Флорина Татьяна Андреевна, Баяхметова Айсулу Ахметбековна ВОЗМОЖНОСТИ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА В ИЗУЧЕНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ // In The World Of Science and Education. 2024. №20 сентябрь ЮН. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vozmozhnosti-iskusstvennogo-intellekta-v-izuchenii-vysshey-matematiki (17.12.2024).
7. Белеков А.А., Репницин И.С. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ // Информация и образование: границы коммуникаций INFO. 2020. №12 (20). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/graficheskiy-metod-resheniya-matematicheskih-zadach-s-ispolzovaniem-proizvodnoy (26.12.2024).
8. Кублановский Станислав Исакович, Матиясевич Юрий Владимирович Искусственный интеллект в математике - универсальный математический решатель // Компьютерные инструменты в образовании. 2003. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/iskusstvennyy-intellekt-v-matematike-universalnyy-matematicheskiy-reshatel (17.12.2024).
9. Гулынина Елена Владимировна, Омарова Анна Дмитриевна ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И ПЕРСОНАЛИЗИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ: ПЕРСПЕКТИВЫ И ВЫЗОВЫ В КОНТЕКСТЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ // Педагогическое образование в России. 2024. №4. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/iskusstvennyy-intellekt-i-personalizirovannoe-obuchenie-perspektivy-i-vyzovy-v-kontekste-prepodavaniya-matematiki (17.12.2024).
10. Бабурчина А.И. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ СРЕДНЕГО И СТАРШЕГО ЗВЕНА // Вестник науки. 2024. №9 (78). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-ii-v-prepodavanii-matematiki-dlya-shkolnikov-srednego-i-starshego-zvena (14.12.2024).
11. Чучаев И.И., Нестерова Т.Н. Использование разномонотонных функций при решении уравнений // Наука и школа. 2013. №5. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-raznomonotonnyh-funktsiy-pri-reshenii-uravneniy (01.07.2025).
12. Тарасова Татьяна Александровна, Иващенко Евгения Витальевна, Козлов Владимир Анатольевич ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ // Проблемы современного педагогического образования. 2022. №76-2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-svoystv-funktsiy-s-pomoschyu-kompyuternoy-matematiki (04.03.2025).
13. Фомина Татьяна Петровна, Кузнецова Елена Васильевна Курс «Математическое моделирование», его роль и место в профессиональной подготовке студентов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. 2009. №5. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kurs-matematicheskoe-modelirovanie-ego-rol-i-mesto-v-professionalnoy-podgotovke-studentov (29.01.2025).
14. Ахмадиев Ф.Г., Гильфанов Р.М. Математическое моделирование и оптимизация «Состав-свойство» многокомпонентных смесей // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2012. №2 (20). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-modelirovanie-i-optimizatsiya-sostav-svoystvo-mnogokomponentnyh-smesey (29.06.2025).
15. Метод монотонных мажорант в теории нелинейных уравнений... [Электронный ресурс] // cyberleninka.ru - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-monotonnyh-mazhorant-v-teorii-nelineynyh-uravneniy-volterra, свободный. - Загл. с экрана
16. Каширский И.С. Метод рекуррентных формул для научных исследований // Вісник Національного технічного університету України Київський політехнічний інститут. Серія: Радіотехніка. Радіоапаратобудування. 2010. №41. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-rekurrentnyh-formul-dlya-nauchnyh-issledovaniy (05.05.2025).
17. Кротов Н.В. Метод усреднения и модулярных мажорант для дифференциального уравнения с запаздыванием // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2008. №6. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-usredneniya-i-modulyarnyh-mazhorant-dlya-differentsialnogo-uravneniya-s-zapazdyvaniem (24.10.2025).
18. Гилев Валерий Георгиевич Методика исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения // Концепт. 2015. №4. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-issledovaniya-elementarnyh-funktsiy-na-monotonnost-i-vypuklost-grafika-metodom-obobscheniya (30.03.2025).
19. Иванков Павел Леонидович, Обухов Виктор Павлович МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СМЫСЛА ПРОИЗВОДНОЙ // Modern European Researches. 2025. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-prepodavaniya-geometricheskogo-smysla-proizvodnoy (17.05.2025).
20. Шананин Василий Андреевич, Андрианова Анна Ивановна МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОСНОВ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА У СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗАХ // Современное педагогическое образование. 2022. №5. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-prepodavaniya-osnov-iskusstvennogo-intellekta-u-studentov-matematicheskih-fakultetov-v-pedagogicheskih-vuzah (24.10.2025).
21. Смирнова Л.В., Великих А.С. Методические особенности изучения приемам применения свойств функций при решении уравнений и неравенств // Психология и педагогика: методика и проблемы практического применения. 2014. №36. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodicheskie-osobennosti-izucheniya-priemam-primeneniya-svoystv-funktsiy-pri-reshenii-uravneniy-i-neravenstv (25.02.2025).
22. Ветрова А.В., Колосова В.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ // Информация и образование: границы коммуникаций INFO. 2020. №12 (20). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodicheskie-problemy-izucheniya-proizvodnoy-v-shkolnom-kurse-matematiki (25.03.2025).
23. Кожевникова Л.М., Багаутдинова А.К. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. 2020. №12-2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-resheniya-logarifmicheskih-neravenstv (14.12.2024).
24. Ходжиев Сафар, Жураева Наргиза Олтинбоевна НЕКОТОРЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕПЕННО ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ // Проблемы педагогики. 2021. №6 (57). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-metodicheskie-sovety-pri-reshenii-stepenno-pokazatelnyh-uravneniy-i-neravenstv (05.03.2025).
25. Рахматов Алишер Ширинбоевич, Гадаев Дониёр Ражабович, Рахмонов Ихтиёр Хусанович НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ // Проблемы педагогики. 2021. №2 (53). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-primeneniya-svoystva-monotonnyh-funktsiy (19.12.2024).
26. Пермякова Марина Юрьевна О некоторых особенностях подготовки к выполнению заданий ЕГЭ по математике темы «Производная функции» // Вестник Шадринского государственного педагогического университета. 2023. №3 (59). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/o-nekotoryh-osobennostyah-podgotovki-k-vypolneniyu-zadaniy-ege-po-matematike-temy-proizvodnaya-funktsii (18.01.2025).
27. Новиков Александр Дмитриевич О современных определениях функции и её исследовании // Вестник Сургутского государственного педагогического университета. 2013. №6 (27). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/o-sovremennyh-opredeleniyah-funktsii-i-eyo-issledovanii (26.12.2024).
28. Кивчун Олег Романович ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕКТОРНОГО РАНГОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2021. №11. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/oblast-dopustimyh-znacheniy-vektornogo-rangovogo-raspredeleniya (24.10.2025).
29. Михайлов Д.Д. Основы математического моделирования // Вестник Казанского технологического университета. 2015. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/osnovy-matematicheskogo-modelirovaniya (10.12.2024).
30. Борискина Ирина Петровна, Нуштаева Анастасия Владимировна, Макарова Наталья Владимировна, Табачкова Марина Юрьевна ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ АБИТУРИЕНТОВ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ // Образовательные технологии и общество. 2019. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/osnovy-resheniya-zadach-s-parametrami-dlya-podgotovki-abiturientov-k-ege-po-matematike (18.01.2025).
31. Григорян Карине Микитовна Построение графиков сложных функций // Проблемы современной науки и образования. 2018. №9 (129). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/postroenie-grafikov-slozhnyh-funktsiy (20.02.2025).
32. Северин Валерий Петрович Пошаговый метод поиска допустимых значений параметров систем автоматического управления // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №2 (19). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/poshagovyy-metod-poiska-dopustimyh-znacheniy-parametrov-sistem-avtomaticheskogo-upravleniya (24.10.2025).
33. А.А. Бабкина, Н.A. Aндрюшечкинa ПРИМЕНЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА В МАТЕМАТИКЕ // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. 2023. №11-2 (86). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-iskusstvennogo-intellekta-v-matematike (20.12.2024).
34. Ветренко Е.А. ПРИМЕНЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ И НАУЧНОЙ СФЕРЕ // Теория и практика современной науки. 2024. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-iskusstvennogo-intellekta-dlya-resheniya-zadach-vysshey-matematiki-v-obrazovatelnoy-i-nauchnoy-sfere (06.03.2025).
35. Алимова Наталья Михайловна Применение свойств монотонных функций к решению неравенств // Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки. 2008. №6. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-svoystv-monotonnyh-funktsiy-k-resheniyu-neravenstv (14.05.2025).
36. Азимов Наби Саидович Применение свойств функции в решении математических задач // Academy. 2018. №1 (28). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-svoystv-funktsii-v-reshenii-matematicheskih-zadach (14.12.2024).
37. Стрельцова И.С. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ "ПРОИЗВОДНАЯ" В УЧЕБНИКАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ШКОЛ // Теория и практика современной науки. 2021. №6 (72). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/razlichnye-podhody-k-izucheniyu-temy-proizvodnaya-v-uchebnikah-obscheobrazovatelnyh-shkol (05.01.2025).
38. Афанасьева А.В. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИЗ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ // Информация и образование: границы коммуникаций INFO. 2020. №12 (20). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/reshenie-zadach-iz-shkolnogo-kursa-matematiki-s-pomoschyu-grafikov-funktsiy (18.02.2025).
39. Имамова А.Н. Формирование предметной готовности учащихся к ЕГЭ по математике // Обучение и воспитание: методики и практика. 2012. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/formirovanie-predmetnoy-gotovnosti-uchaschihsya-k-ege-po-matematike (04.03.2025).
40. Ляхова Н.Е., Шевченко И.В. Функциональные модели в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений // Вестник Таганрогского института имени А. П. Чехова. 2017. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/funktsionalnye-modeli-v-zadachah-na-nahozhdenie-naibolshego-i-naimenshego-znacheniy (08.01.2025).
41. Фундак Леся Игоревна, Цегелык Григорий Григорьевич Численные методы мажорантного типа решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений // Austrian Journal of Technical and Natural Sciences. 2014. №11-12. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/chislennye-metody-mazhorantnogo-tipa-resheniya-zadachi-koshi-dlya-obyknovennyh-differentsialnyh-uravneniy (19.12.2024).
42. Беляева О.П., Бучнева Е.В., Моргунова А.Ю. Электронное учебно-методическое пособие «Функциональный метод решения уравнений и неравенств» // Гаудеамус. 2013. №2 (22). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/elektronnoe-uchebno-metodicheskoe-posobie-funktsionalnyy-metod-resheniya-uravneniy-i-neravenstv (15.12.2024).
