Лабораторная работа по высшей математике на тему Математическая статистика : корреляционный и регрессивный анализ

Построить две модели раной линейной регрессии: x (экзогенная) и z (эндогенная) (1
модель); y (экзогенная) и z (эндогенная) (2 модель). Построить и проанализировать
корреляционное поле, оценить коэффициенты уравнения линейной регрессии (описать их
содержательный смысл) и построить график на корреляционном поле.
Общая форма уравнения линейной регрессии:
???? = ???? + ???? ⋅ ???? или ???? = ???? + ???? ⋅ ????, где: ???? — зависимая переменная,
????, ???? — независимые переменные, ???? — свободный член,
Среднее значение: x ̅=(∑▒x_i )/n=26.516,y ̅=(∑▒y_i )/n=270.391,z ̅=(∑▒z_i )/n=-31.422
Коэффициент регрессии (b):
для первой модели: b_x=(∑▒〖(x_i-x ̅)(z_i-z ̅)〗)/(∑▒(x_i-x ̅ ̅ )^2 )=(-359.078)/323.984=-1.108
Интерпретация: При увеличении X на 1 единицу Z убывает в среднем на 1.108 единиц.
Для второй модели: b_y=(∑▒〖(y_i-y ̅)(z_i-z ̅)〗)/(∑▒(y_i-y ̅ )^2 )=(-3757.453)/32511.234=-0.116
Интерпретация: При увеличении Y на 1 единицу Z убывает в среднем на 13.896 единиц.
Свободный член (a):
для первой модели: a_x=z ̅-b_x∙x ̅=-31.422-(-1.108)∙26.516=-2.034.
Интерпретация: При X=0 значение Z составляет -2.034.
для второй модели: a_y=z ̅-b_y∙y ̅=-31.422-(-0.116)∙270.391=-0.172.
Интерпретация: При X=0 значение Z составляет -0.172.
z=-1.108x-2.034
z=-0.116y-0.172

Перед построением моделей оценим силу линейной связи между переменными с помощью коэффициента корреляции Пирсона (r):
Корреляция X и Z:
r_XZ=(∑▒〖(X_i-X ̅)(Z_i-Z ̅)〗)/√(∑▒〖(X_i-X ̅ )^2 (Z_i-Z ̅ )^2 〗)=(-359.078)/√(323.984∙4527.609)≈-0.296
Интерпретация: Связь очень слабая и отрицательная.
Корреляция Y и Z:
r_YZ=(∑▒〖(Y_i-Y ̅)(Z_i-Z ̅)〗)/√(∑▒〖(Y_i-Y ̅ )^2 (Z_i-Z ̅ )^2 〗)=(-3757.453)/√(32511.234∙4527.609)≈-0.310
Интерпретация: Связь очень слабая и отрицательная.
Для каждой из двух моделей вычислить среднюю ошибку аппроксимации и среднюю эластичность (сделать выводы). Проверить качество линейной модели (F-тест, α=0.05) и регрессионных коэффициентов (t-тест, α=0.05)
Средняя ошибка аппроксимации (А, %)
Формула: A=1/n ∑▒〖|(Z_i-(Z_i ) ̂)/Z_i |∙100%〗,
где Z_i-фактическое значение,(Z_i ) ̂-предсказанное значение.
Для модели z=-1.108x-2.034
A_X=1/64 ∑▒〖|(Z_i-(-1.108x-2.034))/Z_i |∙100%〗≈11.132%
Для модели z=-0.116y-0.172
A_Y=1/64 ∑▒〖|(Z_i-(-0.116y-0.172))/Z_i |∙100%〗≈11.208%
Вывод: Обе модели имеют ошибку около 11%, что говорит о плохо подобранном уравнении регрессии.
Средняя эластичность (E)
Формула: E=b_x∙(X/Z ̅ ) ̅, E=b_y∙(Y/Z ̅ ) ̅
Модель 1: E_x=-1.108∙26.516/(-31.422)≈0.93
Интерпретация: при увеличении X на 1% Z возрастает на 0,93%
Модель 2: E_y=-0.116∙270.391/(-31.422)≈0.998
Интерпретация: при увеличении Y на 1% Z возрастает на 0,998%.
Вывод: Обе переменные (???? и ????) имеют близкую эластичность, но ???? чуть сильнее влияет на ????. Так как коэффициент эластичности меньше 1, влияние не существенно.